Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49209 / 80217
↖ ↑ ↗
← S 37.354876°
W 44.843445°		 ← 242.78 m → S 37.354876°
W 44.840698°		 →
↑
242.74 m
↓
↑
242.74 m
↓
S 37.357059°
W 44.843445°		 ← 242.77 m →
58 931 m²		 S 37.357059°
W 44.840698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375438690185547 y=0.612010955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375438690185547 × 217)
    floor (0.375438690185547 × 131072)
    floor (49209.5)     		tx = 49209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612010955810547 × 217)
    floor (0.612010955810547 × 131072)
    floor (80217.5)     		ty = 80217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49209 / 80217 ti = "17/49209/80217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49209/80217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49209 ÷ 217
    49209 ÷ 131072     		x = 0.375434875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80217 ÷ 217
    80217 ÷ 131072     		y = 0.612007141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375434875488281 × 2 - 1) × π
    -0.249130249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78266576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612007141113281 × 2 - 1) × π
    -0.224014282226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.703761623322044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78266576} λ = -0.78266576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703761623322044))-π/2
    2×atan(0.494720845824046)-π/2
    2×0.459415373827072-π/2
    0.918830747654144-1.57079632675     		φ = -0.65196558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78266576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.843445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65196558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.354876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49209 KachelY 80217 -0.78266576 -0.65196558 -44.843445 -37.354876
    Oben rechts KachelX + 1 49210 KachelY 80217 -0.78261782 -0.65196558 -44.840698 -37.354876
    Unten links KachelX 49209 KachelY + 1 80218 -0.78266576 -0.65200368 -44.843445 -37.357059
    Unten rechts KachelX + 1 49210 KachelY + 1 80218 -0.78261782 -0.65200368 -44.840698 -37.357059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65196558--0.65200368) × R
    3.80999999999299e-05 × 6371000     		dl = 242.735099999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65196558--0.65200368) × R
    3.80999999999299e-05 × 6371000     		dr = 242.735099999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78266576--0.78261782) × cos(-0.65196558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.794892719183368 × 6371000     		do = 242.780696977033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78266576--0.78261782) × cos(-0.65200368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.794869601431358 × 6371000     		du = 242.773636220518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65196558)-sin(-0.65200368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794892719183368-0.794869601431358)×R²
    abs(-0.78261782--0.78266576)×2.31177520095827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31177520095827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31177520095827e-05×40589641000000     		ar = 58930.539819169m²