Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49200 / 80176
↖ ↑ ↗
← S 37.265310°
W 44.868164°		 ← 243.02 m → S 37.265310°
W 44.865418°		 →
↑
243.05 m
↓
↑
243.05 m
↓
S 37.267496°
W 44.868164°		 ← 243.01 m →
59 066 m²		 S 37.267496°
W 44.865418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375370025634766 y=0.611698150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375370025634766 × 217)
    floor (0.375370025634766 × 131072)
    floor (49200.5)     		tx = 49200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611698150634766 × 217)
    floor (0.611698150634766 × 131072)
    floor (80176.5)     		ty = 80176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49200 / 80176 ti = "17/49200/80176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49200/80176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49200 ÷ 217
    49200 ÷ 131072     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80176 ÷ 217
    80176 ÷ 131072     		y = 0.6116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.701796210437622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.701796210437622))-π/2
    2×atan(0.49569413269059)-π/2
    2×0.460196985654546-π/2
    0.920393971309091-1.57079632675     		φ = -0.65040236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65040236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.265310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49200 KachelY 80176 -0.78309719 -0.65040236 -44.868164 -37.265310
    Oben rechts KachelX + 1 49201 KachelY 80176 -0.78304926 -0.65040236 -44.865418 -37.265310
    Unten links KachelX 49200 KachelY + 1 80177 -0.78309719 -0.65044051 -44.868164 -37.267496
    Unten rechts KachelX + 1 49201 KachelY + 1 80177 -0.78304926 -0.65044051 -44.865418 -37.267496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65040236--0.65044051) × R
    3.81500000000701e-05 × 6371000     		dl = 243.053650000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65040236--0.65044051) × R
    3.81500000000701e-05 × 6371000     		dr = 243.053650000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78304926) × cos(-0.65040236) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.795840231312991 × 6371000     		do = 243.019388589553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78304926) × cos(-0.65044051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.795817130654432 × 6371000     		du = 243.012334525561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65040236)-sin(-0.65044051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.795840231312991-0.795817130654432)×R²
    abs(-0.78304926--0.78309719)×2.31006585592608e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31006585592608e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31006585592608e-05×40589641000000     		ar = 59065.8921665559m²