Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 492 / 597
↖ ↑ ↗
← S 28.613460°
W  7.031250°		 ← 34.318 km → S 28.613460°
W  6.679688°		 →
↑
34.267 km
↓
↑
34.267 km
↓
S 28.921631°
W  7.031250°		 ← 34.216 km →
1 174.24 km²		 S 28.921631°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48095703125 y=0.58349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48095703125 × 210)
    floor (0.48095703125 × 1024)
    floor (492.5)     		tx = 492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58349609375 × 210)
    floor (0.58349609375 × 1024)
    floor (597.5)     		ty = 597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 492 / 597 ti = "10/492/597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/492/597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 492 ÷ 210
    492 ÷ 1024     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 597 ÷ 210
    597 ÷ 1024     		y = 0.5830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521553467866211))-π/2
    2×atan(0.593597696398841)-π/2
    2×0.535698624736653-π/2
    1.07139724947331-1.57079632675     		φ = -0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 492 KachelY 597 -0.12271846 -0.49939908 -7.031250 -28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 493 KachelY 597 -0.11658254 -0.49939908 -6.679688 -28.613460
    Unten links KachelX 492 KachelY + 1 598 -0.12271846 -0.50477769 -7.031250 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 493 KachelY + 1 598 -0.11658254 -0.50477769 -6.679688 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49939908--0.50477769) × R
    0.00537860999999995 × 6371000     		dl = 34267.1243099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49939908--0.50477769) × R
    0.00537860999999995 × 6371000     		dr = 34267.1243099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.11658254) × cos(-0.49939908) × R
    0.00613592 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 34317.6664547984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.11658254) × cos(-0.50477769) × R
    0.00613592 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 34216.4772728117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49939908)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.875282008031053)×R²
    abs(-0.11658254--0.12271846)×0.00258849178698561×R²
    0.00613592×0.00258849178698561×6371000²
    0.00613592×0.00258849178698561×40589641000000     		ar = 1174236842.13312m²