Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49195 / 114717
↖ ↑ ↗
← S 79.186289°
W 44.881897°		 ← 57.30 m → S 79.186289°
W 44.879150°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
S 79.186804°
W 44.881897°		 ← 57.30 m →
3 282 m²		 S 79.186804°
W 44.879150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375331878662109 y=0.875225067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375331878662109 × 217)
    floor (0.375331878662109 × 131072)
    floor (49195.5)     		tx = 49195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875225067138672 × 217)
    floor (0.875225067138672 × 131072)
    floor (114717.5)     		ty = 114717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49195 / 114717 ti = "17/49195/114717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49195/114717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49195 ÷ 217
    49195 ÷ 131072     		x = 0.375328063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114717 ÷ 217
    114717 ÷ 131072     		y = 0.875221252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375328063964844 × 2 - 1) × π
    -0.249343872070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78333688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875221252441406 × 2 - 1) × π
    -0.750442504882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.35758466021398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78333688} λ = -0.78333688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35758466021398))-π/2
    2×atan(0.0946485557573475)-π/2
    2×0.0943674336497184-π/2
    0.188734867299437-1.57079632675     		φ = -1.38206146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78333688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.881897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38206146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.186289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49195 KachelY 114717 -0.78333688 -1.38206146 -44.881897 -79.186289
    Oben rechts KachelX + 1 49196 KachelY 114717 -0.78328894 -1.38206146 -44.879150 -79.186289
    Unten links KachelX 49195 KachelY + 1 114718 -0.78333688 -1.38207045 -44.881897 -79.186804
    Unten rechts KachelX + 1 49196 KachelY + 1 114718 -0.78328894 -1.38207045 -44.879150 -79.186804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38206146--1.38207045) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38206146--1.38207045) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78333688--0.78328894) × cos(-1.38206146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187616378002348 × 6371000     		do = 57.3028710874492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78333688--0.78328894) × cos(-1.38207045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		du = 57.3001740662005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38206146)-sin(-1.38207045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187616378002348-0.187607547635763)×R²
    abs(-0.78328894--0.78333688)×8.83036658513858e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83036658513858e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83036658513858e-06×40589641000000     		ar = 3281.96132306338m²