Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49194 / 114718
↖ ↑ ↗
← S 79.186804°
W 44.884643°		 ← 57.29 m → S 79.186804°
W 44.881897°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.187319°
W 44.884643°		 ← 57.29 m →
3 285 m²		 S 79.187319°
W 44.881897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375324249267578 y=0.875232696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375324249267578 × 217)
    floor (0.375324249267578 × 131072)
    floor (49194.5)     		tx = 49194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875232696533203 × 217)
    floor (0.875232696533203 × 131072)
    floor (114718.5)     		ty = 114718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49194 / 114718 ti = "17/49194/114718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49194/114718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49194 ÷ 217
    49194 ÷ 131072     		x = 0.375320434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114718 ÷ 217
    114718 ÷ 131072     		y = 0.875228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.249359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78338481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875228881835938 × 2 - 1) × π
    -0.750457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3576325971136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78338481} λ = -0.78338481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3576325971136))-π/2
    2×atan(0.0946440187077779)-π/2
    2×0.0943629368818344-π/2
    0.188725873763669-1.57079632675     		φ = -1.38207045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78338481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.884643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38207045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.186804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49194 KachelY 114718 -0.78338481 -1.38207045 -44.884643 -79.186804
    Oben rechts KachelX + 1 49195 KachelY 114718 -0.78333688 -1.38207045 -44.881897 -79.186804
    Unten links KachelX 49194 KachelY + 1 114719 -0.78338481 -1.38207945 -44.884643 -79.187319
    Unten rechts KachelX + 1 49195 KachelY + 1 114719 -0.78333688 -1.38207945 -44.881897 -79.187319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38207045--1.38207945) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38207045--1.38207945) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78338481--0.78333688) × cos(-1.38207045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		do = 57.2882215894132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78338481--0.78333688) × cos(-1.38207945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187598707431558 × 6371000     		du = 57.2855221267116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38207045)-sin(-1.38207945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187607547635763-0.187598707431558)×R²
    abs(-0.78333688--0.78338481)×8.84020420510723e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.84020420510723e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.84020420510723e-06×40589641000000     		ar = 3284.77194534538m²