Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49176 / 80136
↖ ↑ ↗
← S 37.177826°
W 44.934082°		 ← 243.35 m → S 37.177826°
W 44.931335°		 →
↑
243.31 m
↓
↑
243.31 m
↓
S 37.180014°
W 44.934082°		 ← 243.35 m →
59 209 m²		 S 37.180014°
W 44.931335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375186920166016 y=0.611392974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375186920166016 × 217)
    floor (0.375186920166016 × 131072)
    floor (49176.5)     		tx = 49176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611392974853516 × 217)
    floor (0.611392974853516 × 131072)
    floor (80136.5)     		ty = 80136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49176 / 80136 ti = "17/49176/80136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49176/80136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49176 ÷ 217
    49176 ÷ 131072     		x = 0.37518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80136 ÷ 217
    80136 ÷ 131072     		y = 0.61138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78424768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.69987873445282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78424768} λ = -0.78424768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.69987873445282))-π/2
    2×atan(0.496645526131369)-π/2
    2×0.460960430737508-π/2
    0.921920861475017-1.57079632675     		φ = -0.64887547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78424768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.934082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64887547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.177826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49176 KachelY 80136 -0.78424768 -0.64887547 -44.934082 -37.177826
    Oben rechts KachelX + 1 49177 KachelY 80136 -0.78419974 -0.64887547 -44.931335 -37.177826
    Unten links KachelX 49176 KachelY + 1 80137 -0.78424768 -0.64891366 -44.934082 -37.180014
    Unten rechts KachelX + 1 49177 KachelY + 1 80137 -0.78419974 -0.64891366 -44.931335 -37.180014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64887547--0.64891366) × R
    3.8189999999938e-05 × 6371000     		dl = 243.308489999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64887547--0.64891366) × R
    3.8189999999938e-05 × 6371000     		dr = 243.308489999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78424768--0.78419974) × cos(-0.64887547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79676384532358 × 6371000     		do = 243.35218706304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78424768--0.78419974) × cos(-0.64891366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796740766876783 × 6371000     		du = 243.345138311349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64887547)-sin(-0.64891366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79676384532358-0.796740766876783)×R²
    abs(-0.78419974--0.78424768)×2.30784467974976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30784467974976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30784467974976e-05×40589641000000     		ar = 59208.795669053m²