Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49171 / 114700
↖ ↑ ↗
← S 79.177525°
W 44.947815°		 ← 57.34 m → S 79.177525°
W 44.945069°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.178041°
W 44.947815°		 ← 57.33 m →
3 291 m²		 S 79.178041°
W 44.945069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375148773193359 y=0.875095367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375148773193359 × 217)
    floor (0.375148773193359 × 131072)
    floor (49171.5)     		tx = 49171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875095367431641 × 217)
    floor (0.875095367431641 × 131072)
    floor (114700.5)     		ty = 114700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49171 / 114700 ti = "17/49171/114700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49171/114700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49171 ÷ 217
    49171 ÷ 131072     		x = 0.375144958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114700 ÷ 217
    114700 ÷ 131072     		y = 0.875091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375144958496094 × 2 - 1) × π
    -0.249710083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.78448736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.75018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35676973292044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78448736} λ = -0.78448736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35676973292044))-π/2
    2×atan(0.0947257188856277)-π/2
    2×0.0944439111075383-π/2
    0.188887822215077-1.57079632675     		φ = -1.38190850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78448736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.947815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38190850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.177525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49171 KachelY 114700 -0.78448736 -1.38190850 -44.947815 -79.177525
    Oben rechts KachelX + 1 49172 KachelY 114700 -0.78443943 -1.38190850 -44.945069 -79.177525
    Unten links KachelX 49171 KachelY + 1 114701 -0.78448736 -1.38191751 -44.947815 -79.178041
    Unten rechts KachelX + 1 49172 KachelY + 1 114701 -0.78443943 -1.38191751 -44.945069 -79.178041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38190850--1.38191751) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38190850--1.38191751) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78448736--0.78443943) × cos(-1.38190850) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		do = 57.3367961276622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78448736--0.78443943) × cos(-1.38191751) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187757769848724 × 6371000     		du = 57.3340937491816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38190850)-sin(-1.38191751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187766619601526-0.187757769848724)×R²
    abs(-0.78443943--0.78448736)×8.84975280202038e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.84975280202038e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.84975280202038e-06×40589641000000     		ar = 3291.20991861319m²