Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49170 / 80310
↖ ↑ ↗
← S 37.557642°
W 44.950562°		 ← 242.12 m → S 37.557642°
W 44.947815°		 →
↑
242.10 m
↓
↑
242.10 m
↓
S 37.559820°
W 44.950562°		 ← 242.12 m →
58 617 m²		 S 37.559820°
W 44.947815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375141143798828 y=0.612720489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375141143798828 × 217)
    floor (0.375141143798828 × 131072)
    floor (49170.5)     		tx = 49170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612720489501953 × 217)
    floor (0.612720489501953 × 131072)
    floor (80310.5)     		ty = 80310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49170 / 80310 ti = "17/49170/80310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49170/80310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49170 ÷ 217
    49170 ÷ 131072     		x = 0.375137329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80310 ÷ 217
    80310 ÷ 131072     		y = 0.612716674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.249725341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78453530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612716674804688 × 2 - 1) × π
    -0.225433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.70821975498671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78453530} λ = -0.78453530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70821975498671))-π/2
    2×atan(0.4925202241315)-π/2
    2×0.457645903588327-π/2
    0.915291807176653-1.57079632675     		φ = -0.65550452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78453530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.950562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65550452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.557642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49170 KachelY 80310 -0.78453530 -0.65550452 -44.950562 -37.557642
    Oben rechts KachelX + 1 49171 KachelY 80310 -0.78448736 -0.65550452 -44.947815 -37.557642
    Unten links KachelX 49170 KachelY + 1 80311 -0.78453530 -0.65554252 -44.950562 -37.559820
    Unten rechts KachelX + 1 49171 KachelY + 1 80311 -0.78448736 -0.65554252 -44.947815 -37.559820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65550452--0.65554252) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dl = 242.097999999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65550452--0.65554252) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dr = 242.097999999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78453530--0.78448736) × cos(-0.65550452) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.792740494161875 × 6371000     		do = 242.123352057758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78453530--0.78448736) × cos(-0.65554252) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.792717330337097 × 6371000     		du = 242.116277229434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65550452)-sin(-0.65554252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792740494161875-0.792717330337097)×R²
    abs(-0.78448736--0.78453530)×2.31638247774058e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31638247774058e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31638247774058e-05×40589641000000     		ar = 58616.7228925508m²