Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4917 / 3716
↖ ↑ ↗
← N 16.467695°
E 36.079101°		 ← 4 686.05 m → N 16.467695°
E 36.123047°		 →
↑
4 686.51 m
↓
↑
4 686.51 m
↓
N 16.425548°
E 36.079101°		 ← 4 687.07 m →
21 963 585 m²		 N 16.425548°
E 36.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60028076171875 y=0.45367431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60028076171875 × 213)
    floor (0.60028076171875 × 8192)
    floor (4917.5)     		tx = 4917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45367431640625 × 213)
    floor (0.45367431640625 × 8192)
    floor (3716.5)     		ty = 3716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4917 / 3716 ti = "13/4917/3716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4917/3716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4917 ÷ 213
    4917 ÷ 8192     		x = 0.6002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3716 ÷ 213
    3716 ÷ 8192     		y = 0.45361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6002197265625 × 2 - 1) × π
    0.200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62969911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45361328125 × 2 - 1) × π
    0.0927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62969911} λ = 0.62969911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291456349689941))-π/2
    2×atan(1.33837521172244)-π/2
    2×0.929105910178965-π/2
    1.85821182035793-1.57079632675     		φ = 0.28741549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62969911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.079101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28741549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.467695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4917 KachelY 3716 0.62969911 0.28741549 36.079101 16.467695
    Oben rechts KachelX + 1 4918 KachelY 3716 0.63046610 0.28741549 36.123047 16.467695
    Unten links KachelX 4917 KachelY + 1 3717 0.62969911 0.28667989 36.079101 16.425548
    Unten rechts KachelX + 1 4918 KachelY + 1 3717 0.63046610 0.28667989 36.123047 16.425548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28741549-0.28667989) × R
    0.000735600000000003 × 6371000     		dl = 4686.50760000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28741549-0.28667989) × R
    0.000735600000000003 × 6371000     		dr = 4686.50760000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62969911-0.63046610) × cos(0.28741549) × R
    0.000766990000000023 × 0.958979720690072 × 6371000     		do = 4686.04797039825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62969911-0.63046610) × cos(0.28667989) × R
    0.000766990000000023 × 0.959187985191826 × 6371000     		du = 4687.06565348862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28741549)-sin(0.28667989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958979720690072-0.959187985191826)×R²
    abs(0.63046610-0.62969911)×0.000208264501754041×R²
    0.000766990000000023×0.000208264501754041×6371000²
    0.000766990000000023×0.000208264501754041×40589641000000     		ar = 21963585.1073918m²