Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49169 / 80307
↖ ↑ ↗
← S 37.551110°
W 44.953308°		 ← 242.14 m → S 37.551110°
W 44.950562°		 →
↑
242.10 m
↓
↑
242.10 m
↓
S 37.553287°
W 44.953308°		 ← 242.14 m →
58 622 m²		 S 37.553287°
W 44.950562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375133514404297 y=0.612697601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375133514404297 × 217)
    floor (0.375133514404297 × 131072)
    floor (49169.5)     		tx = 49169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612697601318359 × 217)
    floor (0.612697601318359 × 131072)
    floor (80307.5)     		ty = 80307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49169 / 80307 ti = "17/49169/80307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49169/80307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49169 ÷ 217
    49169 ÷ 131072     		x = 0.375129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80307 ÷ 217
    80307 ÷ 131072     		y = 0.612693786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375129699707031 × 2 - 1) × π
    -0.249740600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78458324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612693786621094 × 2 - 1) × π
    -0.225387573242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.708075944287849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78458324} λ = -0.78458324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.708075944287849))-π/2
    2×atan(0.492591058902412)-π/2
    2×0.457702908368976-π/2
    0.915405816737952-1.57079632675     		φ = -0.65539051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78458324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.953308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65539051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.551110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49169 KachelY 80307 -0.78458324 -0.65539051 -44.953308 -37.551110
    Oben rechts KachelX + 1 49170 KachelY 80307 -0.78453530 -0.65539051 -44.950562 -37.551110
    Unten links KachelX 49169 KachelY + 1 80308 -0.78458324 -0.65542851 -44.953308 -37.553287
    Unten rechts KachelX + 1 49170 KachelY + 1 80308 -0.78453530 -0.65542851 -44.950562 -37.553287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65539051--0.65542851) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dl = 242.097999999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65539051--0.65542851) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dr = 242.097999999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-0.65539051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792809984862458 × 6371000     		do = 242.144576305846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-0.65542851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792786824472234 × 6371000     		du = 242.137502526524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65539051)-sin(-0.65542851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792809984862458-0.792786824472234)×R²
    abs(-0.78453530--0.78458324)×2.31603902239863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31603902239863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31603902239863e-05×40589641000000     		ar = 58621.8613675307m²