Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49168 / 81875
↖ ↑ ↗
← S 40.886524°
W 44.956055°		 ← 230.86 m → S 40.886524°
W 44.953308°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 40.888601°
W 44.956055°		 ← 230.85 m →
53 300 m²		 S 40.888601°
W 44.953308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375125885009766 y=0.624660491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375125885009766 × 217)
    floor (0.375125885009766 × 131072)
    floor (49168.5)     		tx = 49168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624660491943359 × 217)
    floor (0.624660491943359 × 131072)
    floor (81875.5)     		ty = 81875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49168 / 81875 ti = "17/49168/81875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49168/81875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49168 ÷ 217
    49168 ÷ 131072     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81875 ÷ 217
    81875 ÷ 131072     		y = 0.624656677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624656677246094 × 2 - 1) × π
    -0.249313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.783241002892098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783241002892098))-π/2
    2×atan(0.456922721069186)-π/2
    2×0.428595928097075-π/2
    0.85719185619415-1.57079632675     		φ = -0.71360447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71360447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.886524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49168 KachelY 81875 -0.78463117 -0.71360447 -44.956055 -40.886524
    Oben rechts KachelX + 1 49169 KachelY 81875 -0.78458324 -0.71360447 -44.953308 -40.886524
    Unten links KachelX 49168 KachelY + 1 81876 -0.78463117 -0.71364071 -44.956055 -40.888601
    Unten rechts KachelX + 1 49169 KachelY + 1 81876 -0.78458324 -0.71364071 -44.953308 -40.888601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71360447--0.71364071) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dl = 230.885039999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71360447--0.71364071) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dr = 230.885039999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78458324) × cos(-0.71360447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756007439414676 × 6371000     		do = 230.855966394909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78458324) × cos(-0.71364071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755983717554268 × 6371000     		du = 230.848722639459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71360447)-sin(-0.71364071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756007439414676-0.755983717554268)×R²
    abs(-0.78458324--0.78463117)×2.37218604077771e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37218604077771e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37218604077771e-05×40589641000000     		ar = 53300.3528036181m²