Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49168 / 80309
↖ ↑ ↗
← S 37.555465°
W 44.956055°		 ← 242.08 m → S 37.555465°
W 44.953308°		 →
↑
242.10 m
↓
↑
242.10 m
↓
S 37.557642°
W 44.956055°		 ← 242.07 m →
58 606 m²		 S 37.557642°
W 44.953308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375125885009766 y=0.612712860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375125885009766 × 217)
    floor (0.375125885009766 × 131072)
    floor (49168.5)     		tx = 49168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612712860107422 × 217)
    floor (0.612712860107422 × 131072)
    floor (80309.5)     		ty = 80309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49168 / 80309 ti = "17/49168/80309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49168/80309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49168 ÷ 217
    49168 ÷ 131072     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80309 ÷ 217
    80309 ÷ 131072     		y = 0.612709045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612709045410156 × 2 - 1) × π
    -0.225418090820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.70817181808709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70817181808709))-π/2
    2×atan(0.492543834589947)-π/2
    2×0.457664904626682-π/2
    0.915329809253364-1.57079632675     		φ = -0.65546652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65546652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.555465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49168 KachelY 80309 -0.78463117 -0.65546652 -44.956055 -37.555465
    Oben rechts KachelX + 1 49169 KachelY 80309 -0.78458324 -0.65546652 -44.953308 -37.555465
    Unten links KachelX 49168 KachelY + 1 80310 -0.78463117 -0.65550452 -44.956055 -37.557642
    Unten rechts KachelX + 1 49169 KachelY + 1 80310 -0.78458324 -0.65550452 -44.953308 -37.557642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65546652--0.65550452) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dl = 242.097999999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65546652--0.65550452) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dr = 242.097999999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78458324) × cos(-0.65546652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792763656841935 × 6371000     		do = 242.079919563625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78458324) × cos(-0.65550452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792740494161875 × 6371000     		du = 242.072846560621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65546652)-sin(-0.65550452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792763656841935-0.792740494161875)×R²
    abs(-0.78458324--0.78463117)×2.31626800601958e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31626800601958e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31626800601958e-05×40589641000000     		ar = 58606.2081935082m²