Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49165 / 81501
↖ ↑ ↗
← S 40.105387°
W 44.964294°		 ← 233.56 m → S 40.105387°
W 44.961548°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
S 40.107487°
W 44.964294°		 ← 233.55 m →
54 550 m²		 S 40.107487°
W 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375102996826172 y=0.621807098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375102996826172 × 217)
    floor (0.375102996826172 × 131072)
    floor (49165.5)     		tx = 49165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621807098388672 × 217)
    floor (0.621807098388672 × 131072)
    floor (81501.5)     		ty = 81501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49165 / 81501 ti = "17/49165/81501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49165/81501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49165 ÷ 217
    49165 ÷ 131072     		x = 0.375099182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81501 ÷ 217
    81501 ÷ 131072     		y = 0.621803283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375099182128906 × 2 - 1) × π
    -0.249801635742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78477498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621803283691406 × 2 - 1) × π
    -0.243606567382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.765312602434197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78477498} λ = -0.78477498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765312602434197))-π/2
    2×atan(0.465188489188689)-π/2
    2×0.435412640569419-π/2
    0.870825281138838-1.57079632675     		φ = -0.69997105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78477498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.964294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69997105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.105387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49165 KachelY 81501 -0.78477498 -0.69997105 -44.964294 -40.105387
    Oben rechts KachelX + 1 49166 KachelY 81501 -0.78472705 -0.69997105 -44.961548 -40.105387
    Unten links KachelX 49165 KachelY + 1 81502 -0.78477498 -0.70000771 -44.964294 -40.107487
    Unten rechts KachelX + 1 49166 KachelY + 1 81502 -0.78472705 -0.70000771 -44.961548 -40.107487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69997105--0.70000771) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69997105--0.70000771) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78477498--0.78472705) × cos(-0.69997105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764860837066023 × 6371000     		do = 233.559457874123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78477498--0.78472705) × cos(-0.70000771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764837220343387 × 6371000     		du = 233.552246223757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69997105)-sin(-0.70000771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764860837066023-0.764837220343387)×R²
    abs(-0.78472705--0.78477498)×2.36167226360662e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36167226360662e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36167226360662e-05×40589641000000     		ar = 54549.5056686168m²