Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49165 / 114709
↖ ↑ ↗
← S 79.182166°
W 44.964294°		 ← 57.31 m → S 79.182166°
W 44.961548°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
S 79.182681°
W 44.964294°		 ← 57.31 m →
3 283 m²		 S 79.182681°
W 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375102996826172 y=0.875164031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375102996826172 × 217)
    floor (0.375102996826172 × 131072)
    floor (49165.5)     		tx = 49165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875164031982422 × 217)
    floor (0.875164031982422 × 131072)
    floor (114709.5)     		ty = 114709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49165 / 114709 ti = "17/49165/114709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49165/114709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49165 ÷ 217
    49165 ÷ 131072     		x = 0.375099182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114709 ÷ 217
    114709 ÷ 131072     		y = 0.875160217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375099182128906 × 2 - 1) × π
    -0.249801635742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78477498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875160217285156 × 2 - 1) × π
    -0.750320434570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.35720116501702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78477498} λ = -0.78477498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35720116501702))-π/2
    2×atan(0.0946848599846832)-π/2
    2×0.0944034154161745-π/2
    0.188806830832349-1.57079632675     		φ = -1.38198950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78477498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.964294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38198950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.182166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49165 KachelY 114709 -0.78477498 -1.38198950 -44.964294 -79.182166
    Oben rechts KachelX + 1 49166 KachelY 114709 -0.78472705 -1.38198950 -44.961548 -79.182166
    Unten links KachelX 49165 KachelY + 1 114710 -0.78477498 -1.38199849 -44.964294 -79.182681
    Unten rechts KachelX + 1 49166 KachelY + 1 114710 -0.78472705 -1.38199849 -44.961548 -79.182681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38198950--1.38199849) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38198950--1.38199849) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78477498--0.78472705) × cos(-1.38198950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18768705967825 × 6371000     		do = 57.3125015481167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78477498--0.78472705) × cos(-1.38199849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187678229433058 × 6371000     		du = 57.3098051265194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38198950)-sin(-1.38199849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18768705967825-0.187678229433058)×R²
    abs(-0.78472705--0.78477498)×8.8302451922706e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.8302451922706e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.8302451922706e-06×40589641000000     		ar = 3282.51292768036m²