Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49163 / 114711
↖ ↑ ↗
← S 79.183196°
W 44.969788°		 ← 57.32 m → S 79.183196°
W 44.967041°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.183712°
W 44.969788°		 ← 57.32 m →
3 287 m²		 S 79.183712°
W 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375087738037109 y=0.875179290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375087738037109 × 217)
    floor (0.375087738037109 × 131072)
    floor (49163.5)     		tx = 49163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875179290771484 × 217)
    floor (0.875179290771484 × 131072)
    floor (114711.5)     		ty = 114711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49163 / 114711 ti = "17/49163/114711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49163/114711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49163 ÷ 217
    49163 ÷ 131072     		x = 0.375083923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114711 ÷ 217
    114711 ÷ 131072     		y = 0.875175476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375083923339844 × 2 - 1) × π
    -0.249832153320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78487086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875175476074219 × 2 - 1) × π
    -0.750350952148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.35729703881626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78487086} λ = -0.78487086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35729703881626))-π/2
    2×atan(0.0946757826225735)-π/2
    2×0.094394418703862-π/2
    0.188788837407724-1.57079632675     		φ = -1.38200749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78487086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.969788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38200749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.183196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49163 KachelY 114711 -0.78487086 -1.38200749 -44.969788 -79.183196
    Oben rechts KachelX + 1 49164 KachelY 114711 -0.78482292 -1.38200749 -44.967041 -79.183196
    Unten links KachelX 49163 KachelY + 1 114712 -0.78487086 -1.38201649 -44.969788 -79.183712
    Unten rechts KachelX + 1 49164 KachelY + 1 114712 -0.78482292 -1.38201649 -44.967041 -79.183712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38200749--1.38201649) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dl = 57.3390000009415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38200749--1.38201649) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dr = 57.3390000009415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78487086--0.78482292) × cos(-1.38200749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187669389350375 × 6371000     		do = 57.3190621176488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78487086--0.78482292) × cos(-1.38201649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187660549252491 × 6371000     		du = 57.3163621242108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38200749)-sin(-1.38201649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187669389350375-0.187660549252491)×R²
    abs(-0.78482292--0.78487086)×8.84009788434947e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84009788434947e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84009788434947e-06×40589641000000     		ar = 3286.54029536773m²