Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49161 / 81875
↖ ↑ ↗
← S 40.886524°
W 44.975281°		 ← 230.90 m → S 40.886524°
W 44.972534°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 40.888601°
W 44.975281°		 ← 230.90 m →
53 311 m²		 S 40.888601°
W 44.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375072479248047 y=0.624660491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375072479248047 × 217)
    floor (0.375072479248047 × 131072)
    floor (49161.5)     		tx = 49161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624660491943359 × 217)
    floor (0.624660491943359 × 131072)
    floor (81875.5)     		ty = 81875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49161 / 81875 ti = "17/49161/81875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49161/81875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49161 ÷ 217
    49161 ÷ 131072     		x = 0.375068664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81875 ÷ 217
    81875 ÷ 131072     		y = 0.624656677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375068664550781 × 2 - 1) × π
    -0.249862670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78496673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624656677246094 × 2 - 1) × π
    -0.249313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.783241002892098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78496673} λ = -0.78496673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783241002892098))-π/2
    2×atan(0.456922721069186)-π/2
    2×0.428595928097075-π/2
    0.85719185619415-1.57079632675     		φ = -0.71360447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78496673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.975281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71360447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.886524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49161 KachelY 81875 -0.78496673 -0.71360447 -44.975281 -40.886524
    Oben rechts KachelX + 1 49162 KachelY 81875 -0.78491879 -0.71360447 -44.972534 -40.886524
    Unten links KachelX 49161 KachelY + 1 81876 -0.78496673 -0.71364071 -44.975281 -40.888601
    Unten rechts KachelX + 1 49162 KachelY + 1 81876 -0.78491879 -0.71364071 -44.972534 -40.888601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71360447--0.71364071) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dl = 230.885039999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71360447--0.71364071) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dr = 230.885039999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78496673--0.78491879) × cos(-0.71360447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756007439414676 × 6371000     		do = 230.904131628581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78496673--0.78491879) × cos(-0.71364071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755983717554268 × 6371000     		du = 230.896886361812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71360447)-sin(-0.71364071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756007439414676-0.755983717554268)×R²
    abs(-0.78491879--0.78496673)×2.37218604077771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37218604077771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37218604077771e-05×40589641000000     		ar = 53311.4732610518m²