Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49160 / 80184
↖ ↑ ↗
← S 37.282795°
W 44.978027°		 ← 243.01 m → S 37.282795°
W 44.975281°		 →
↑
242.99 m
↓
↑
242.99 m
↓
S 37.284980°
W 44.978027°		 ← 243.01 m →
59 049 m²		 S 37.284980°
W 44.975281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375064849853516 y=0.611759185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375064849853516 × 217)
    floor (0.375064849853516 × 131072)
    floor (49160.5)     		tx = 49160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611759185791016 × 217)
    floor (0.611759185791016 × 131072)
    floor (80184.5)     		ty = 80184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49160 / 80184 ti = "17/49160/80184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49160/80184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49160 ÷ 217
    49160 ÷ 131072     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80184 ÷ 217
    80184 ÷ 131072     		y = 0.61175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.2235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.702179705634583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.702179705634583))-π/2
    2×atan(0.495504072817396)-π/2
    2×0.460044402919482-π/2
    0.920088805838964-1.57079632675     		φ = -0.65070752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65070752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.282795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49160 KachelY 80184 -0.78501467 -0.65070752 -44.978027 -37.282795
    Oben rechts KachelX + 1 49161 KachelY 80184 -0.78496673 -0.65070752 -44.975281 -37.282795
    Unten links KachelX 49160 KachelY + 1 80185 -0.78501467 -0.65074566 -44.978027 -37.284980
    Unten rechts KachelX + 1 49161 KachelY + 1 80185 -0.78496673 -0.65074566 -44.975281 -37.284980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65070752--0.65074566) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dl = 242.989940000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65070752--0.65074566) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dr = 242.989940000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78496673) × cos(-0.65070752) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.795655417845376 × 6371000     		do = 243.013644780837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78496673) × cos(-0.65074566) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.79563231398077 × 6371000     		du = 243.006588265892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65070752)-sin(-0.65074566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.795655417845376-0.79563231398077)×R²
    abs(-0.78496673--0.78501467)×2.31038646063553e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31038646063553e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31038646063553e-05×40589641000000     		ar = 59049.0136406363m²