Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4916 / 5242
↖ ↑ ↗
← S 44.902578°
E 36.035156°		 ← 3 461.14 m → S 44.902578°
E 36.079101°		 →
↑
3 460.22 m
↓
↑
3 460.22 m
↓
S 44.933697°
E 36.035156°		 ← 3 459.27 m →
11 973 065 m²		 S 44.933697°
E 36.079101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60015869140625 y=0.63995361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60015869140625 × 213)
    floor (0.60015869140625 × 8192)
    floor (4916.5)     		tx = 4916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63995361328125 × 213)
    floor (0.63995361328125 × 8192)
    floor (5242.5)     		ty = 5242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4916 / 5242 ti = "13/4916/5242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4916/5242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4916 ÷ 213
    4916 ÷ 8192     		x = 0.60009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5242 ÷ 213
    5242 ÷ 8192     		y = 0.639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62893212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87897099143335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62893212} λ = 0.62893212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87897099143335))-π/2
    2×atan(0.415209946524577)-π/2
    2×0.393549249071946-π/2
    0.787098498143892-1.57079632675     		φ = -0.78369783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62893212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78369783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.902578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4916 KachelY 5242 0.62893212 -0.78369783 36.035156 -44.902578
    Oben rechts KachelX + 1 4917 KachelY 5242 0.62969911 -0.78369783 36.079101 -44.902578
    Unten links KachelX 4916 KachelY + 1 5243 0.62893212 -0.78424095 36.035156 -44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 4917 KachelY + 1 5243 0.62969911 -0.78424095 36.079101 -44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78369783--0.78424095) × R
    0.000543120000000008 × 6371000     		dl = 3460.21752000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78369783--0.78424095) × R
    0.000543120000000008 × 6371000     		dr = 3460.21752000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62893212-0.62969911) × cos(-0.78369783) × R
    0.000766990000000023 × 0.708308075712955 × 6371000     		do = 3461.14265922427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62893212-0.62969911) × cos(-0.78424095) × R
    0.000766990000000023 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 3459.2687148147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78369783)-sin(-0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708308075712955-0.707924580986091)×R²
    abs(0.62969911-0.62893212)×0.000383494726864164×R²
    0.000766990000000023×0.000383494726864164×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383494726864164×40589641000000     		ar = 11973064.635346m²