Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49153 / 81881
↖ ↑ ↗
← S 40.898982°
W 44.997254°		 ← 230.86 m → S 40.898982°
W 44.994507°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 40.901058°
W 44.997254°		 ← 230.85 m →
53 301 m²		 S 40.901058°
W 44.994507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375011444091797 y=0.624706268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375011444091797 × 217)
    floor (0.375011444091797 × 131072)
    floor (49153.5)     		tx = 49153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624706268310547 × 217)
    floor (0.624706268310547 × 131072)
    floor (81881.5)     		ty = 81881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49153 / 81881 ti = "17/49153/81881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49153/81881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49153 ÷ 217
    49153 ÷ 131072     		x = 0.375007629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81881 ÷ 217
    81881 ÷ 131072     		y = 0.624702453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375007629394531 × 2 - 1) × π
    -0.249984741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78535023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624702453613281 × 2 - 1) × π
    -0.249404907226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.783528624289818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78535023} λ = -0.78535023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783528624289818))-π/2
    2×atan(0.456791319215401)-π/2
    2×0.428487216373482-π/2
    0.856974432746965-1.57079632675     		φ = -0.71382189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78535023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.997254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71382189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.898982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49153 KachelY 81881 -0.78535023 -0.71382189 -44.997254 -40.898982
    Oben rechts KachelX + 1 49154 KachelY 81881 -0.78530229 -0.71382189 -44.994507 -40.898982
    Unten links KachelX 49153 KachelY + 1 81882 -0.78535023 -0.71385813 -44.997254 -40.901058
    Unten rechts KachelX + 1 49154 KachelY + 1 81882 -0.78530229 -0.71385813 -44.994507 -40.901058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71382189--0.71385813) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71382189--0.71385813) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78535023--0.78530229) × cos(-0.71382189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755865106454472 × 6371000     		do = 230.860659479419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78535023--0.78530229) × cos(-0.71385813) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755841378637909 × 6371000     		du = 230.853412393487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71382189)-sin(-0.71385813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755865106454472-0.755841378637909)×R²
    abs(-0.78530229--0.78535023)×2.37278165636789e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37278165636789e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37278165636789e-05×40589641000000     		ar = 53301.4359824079m²