Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49150 / 81486
↖ ↑ ↗
← S 40.073868°
W 45.005493°		 ← 233.72 m → S 40.073868°
W 45.002747°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 40.075970°
W 45.005493°		 ← 233.71 m →
54 616 m²		 S 40.075970°
W 45.002747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374988555908203 y=0.621692657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374988555908203 × 217)
    floor (0.374988555908203 × 131072)
    floor (49150.5)     		tx = 49150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621692657470703 × 217)
    floor (0.621692657470703 × 131072)
    floor (81486.5)     		ty = 81486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49150 / 81486 ti = "17/49150/81486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49150/81486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49150 ÷ 217
    49150 ÷ 131072     		x = 0.374984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81486 ÷ 217
    81486 ÷ 131072     		y = 0.621688842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374984741210938 × 2 - 1) × π
    -0.250030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78549404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621688842773438 × 2 - 1) × π
    -0.243377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.764593548939896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78549404} λ = -0.78549404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764593548939896))-π/2
    2×atan(0.465523104886225)-π/2
    2×0.435687692183887-π/2
    0.871375384367774-1.57079632675     		φ = -0.69942094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78549404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69942094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.073868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49150 KachelY 81486 -0.78549404 -0.69942094 -45.005493 -40.073868
    Oben rechts KachelX + 1 49151 KachelY 81486 -0.78544610 -0.69942094 -45.002747 -40.073868
    Unten links KachelX 49150 KachelY + 1 81487 -0.78549404 -0.69945762 -45.005493 -40.075970
    Unten rechts KachelX + 1 49151 KachelY + 1 81487 -0.78544610 -0.69945762 -45.002747 -40.075970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69942094--0.69945762) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69942094--0.69945762) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78549404--0.78544610) × cos(-0.69942094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765215099727815 × 6371000     		do = 233.716388093388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78549404--0.78544610) × cos(-0.69945762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765191485557432 × 6371000     		du = 233.709175717925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69942094)-sin(-0.69945762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765215099727815-0.765191485557432)×R²
    abs(-0.78544610--0.78549404)×2.36141703831017e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36141703831017e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36141703831017e-05×40589641000000     		ar = 54615.938023752m²