Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49147 / 81453
↖ ↑ ↗
← S 40.004476°
W 45.013733°		 ← 233.95 m → S 40.004476°
W 45.010986°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
S 40.006580°
W 45.013733°		 ← 233.95 m →
54 731 m²		 S 40.006580°
W 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374965667724609 y=0.621440887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374965667724609 × 217)
    floor (0.374965667724609 × 131072)
    floor (49147.5)     		tx = 49147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621440887451172 × 217)
    floor (0.621440887451172 × 131072)
    floor (81453.5)     		ty = 81453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49147 / 81453 ti = "17/49147/81453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49147/81453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49147 ÷ 217
    49147 ÷ 131072     		x = 0.374961853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81453 ÷ 217
    81453 ÷ 131072     		y = 0.621437072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374961853027344 × 2 - 1) × π
    -0.250076293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78563785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621437072753906 × 2 - 1) × π
    -0.242874145507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.763011631252434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78563785} λ = -0.78563785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763011631252434))-π/2
    2×atan(0.466260106904337)-π/2
    2×0.436293253984507-π/2
    0.872586507969014-1.57079632675     		φ = -0.69820982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78563785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.013733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69820982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.004476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49147 KachelY 81453 -0.78563785 -0.69820982 -45.013733 -40.004476
    Oben rechts KachelX + 1 49148 KachelY 81453 -0.78558991 -0.69820982 -45.010986 -40.004476
    Unten links KachelX 49147 KachelY + 1 81454 -0.78563785 -0.69824654 -45.013733 -40.006580
    Unten rechts KachelX + 1 49148 KachelY + 1 81454 -0.78558991 -0.69824654 -45.010986 -40.006580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69820982--0.69824654) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69820982--0.69824654) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78563785--0.78558991) × cos(-0.69820982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765994226726297 × 6371000     		do = 233.954353533454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78563785--0.78558991) × cos(-0.69824654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765970620851503 × 6371000     		du = 233.947143691676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69820982)-sin(-0.69824654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765994226726297-0.765970620851503)×R²
    abs(-0.78558991--0.78563785)×2.36058747945522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36058747945522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36058747945522e-05×40589641000000     		ar = 54731.1680627908m²