Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49146 / 81451
↖ ↑ ↗
← S 40.000268°
W 45.016479°		 ← 233.92 m → S 40.000268°
W 45.013733°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
S 40.002372°
W 45.016479°		 ← 233.91 m →
54 723 m²		 S 40.002372°
W 45.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374958038330078 y=0.621425628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374958038330078 × 217)
    floor (0.374958038330078 × 131072)
    floor (49146.5)     		tx = 49146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621425628662109 × 217)
    floor (0.621425628662109 × 131072)
    floor (81451.5)     		ty = 81451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49146 / 81451 ti = "17/49146/81451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49146/81451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49146 ÷ 217
    49146 ÷ 131072     		x = 0.374954223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81451 ÷ 217
    81451 ÷ 131072     		y = 0.621421813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374954223632812 × 2 - 1) × π
    -0.250091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78568578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621421813964844 × 2 - 1) × π
    -0.242843627929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.762915757453194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78568578} λ = -0.78568578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762915757453194))-π/2
    2×atan(0.46630481117517)-π/2
    2×0.436329974504439-π/2
    0.872659949008877-1.57079632675     		φ = -0.69813638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78568578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69813638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.000268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49146 KachelY 81451 -0.78568578 -0.69813638 -45.016479 -40.000268
    Oben rechts KachelX + 1 49147 KachelY 81451 -0.78563785 -0.69813638 -45.013733 -40.000268
    Unten links KachelX 49146 KachelY + 1 81452 -0.78568578 -0.69817310 -45.016479 -40.002372
    Unten rechts KachelX + 1 49147 KachelY + 1 81452 -0.78563785 -0.69817310 -45.013733 -40.002372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69813638--0.69817310) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69813638--0.69817310) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78568578--0.78563785) × cos(-0.69813638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766041435377351 × 6371000     		do = 233.919967771085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78568578--0.78563785) × cos(-0.69817310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766017831568257 × 6371000     		du = 233.912760064024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69813638)-sin(-0.69817310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766041435377351-0.766017831568257)×R²
    abs(-0.78563785--0.78568578)×2.36038090932755e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36038090932755e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36038090932755e-05×40589641000000     		ar = 54723.1240000601m²