Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49145 / 81477
↖ ↑ ↗
← S 40.054950°
W 45.019226°		 ← 233.78 m → S 40.054950°
W 45.016479°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 40.057052°
W 45.019226°		 ← 233.77 m →
54 646 m²		 S 40.057052°
W 45.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374950408935547 y=0.621623992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374950408935547 × 217)
    floor (0.374950408935547 × 131072)
    floor (49145.5)     		tx = 49145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621623992919922 × 217)
    floor (0.621623992919922 × 131072)
    floor (81477.5)     		ty = 81477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49145 / 81477 ti = "17/49145/81477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49145/81477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49145 ÷ 217
    49145 ÷ 131072     		x = 0.374946594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81477 ÷ 217
    81477 ÷ 131072     		y = 0.621620178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374946594238281 × 2 - 1) × π
    -0.250106811523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78573372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621620178222656 × 2 - 1) × π
    -0.243240356445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.764162116843315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78573372} λ = -0.78573372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764162116843315))-π/2
    2×atan(0.465723989826362)-π/2
    2×0.435852784283653-π/2
    0.871705568567305-1.57079632675     		φ = -0.69909076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78573372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69909076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.054950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49145 KachelY 81477 -0.78573372 -0.69909076 -45.019226 -40.054950
    Oben rechts KachelX + 1 49146 KachelY 81477 -0.78568578 -0.69909076 -45.016479 -40.054950
    Unten links KachelX 49145 KachelY + 1 81478 -0.78573372 -0.69912745 -45.019226 -40.057052
    Unten rechts KachelX + 1 49146 KachelY + 1 81478 -0.78568578 -0.69912745 -45.016479 -40.057052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69909076--0.69912745) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69909076--0.69912745) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78573372--0.78568578) × cos(-0.69909076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765427619539582 × 6371000     		do = 233.781297114162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78573372--0.78568578) × cos(-0.69912745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765404008202365 × 6371000     		du = 233.77408560402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69909076)-sin(-0.69912745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765427619539582-0.765404008202365)×R²
    abs(-0.78568578--0.78573372)×2.36113372178437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36113372178437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36113372178437e-05×40589641000000     		ar = 54646.0005788715m²