Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49144 / 81460
↖ ↑ ↗
← S 40.019201°
W 45.021973°		 ← 233.90 m → S 40.019201°
W 45.019226°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 40.021305°
W 45.021973°		 ← 233.90 m →
54 704 m²		 S 40.021305°
W 45.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374942779541016 y=0.621494293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374942779541016 × 217)
    floor (0.374942779541016 × 131072)
    floor (49144.5)     		tx = 49144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621494293212891 × 217)
    floor (0.621494293212891 × 131072)
    floor (81460.5)     		ty = 81460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49144 / 81460 ti = "17/49144/81460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49144/81460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49144 ÷ 217
    49144 ÷ 131072     		x = 0.37493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81460 ÷ 217
    81460 ÷ 131072     		y = 0.621490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.24298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.763347189549774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78578166} λ = -0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763347189549774))-π/2
    2×atan(0.466103675704108)-π/2
    2×0.436164749987026-π/2
    0.872329499974051-1.57079632675     		φ = -0.69846683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69846683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.019201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49144 KachelY 81460 -0.78578166 -0.69846683 -45.021973 -40.019201
    Oben rechts KachelX + 1 49145 KachelY 81460 -0.78573372 -0.69846683 -45.019226 -40.019201
    Unten links KachelX 49144 KachelY + 1 81461 -0.78578166 -0.69850354 -45.021973 -40.021305
    Unten rechts KachelX + 1 49145 KachelY + 1 81461 -0.78573372 -0.69850354 -45.019226 -40.021305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69846683--0.69850354) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69846683--0.69850354) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78578166--0.78573372) × cos(-0.69846683) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765828983206317 × 6371000     		do = 233.903883909625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78578166--0.78573372) × cos(-0.69850354) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765805376534138 × 6371000     		du = 233.896673824306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69846683)-sin(-0.69850354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765828983206317-0.765805376534138)×R²
    abs(-0.78573372--0.78578166)×2.3606672178822e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3606672178822e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3606672178822e-05×40589641000000     		ar = 54704.4592264647m²