Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49144 / 81210
↖ ↑ ↗
← S 39.491324°
W 45.021973°		 ← 235.70 m → S 39.491324°
W 45.019226°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.493444°
W 45.021973°		 ← 235.70 m →
55 561 m²		 S 39.493444°
W 45.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374942779541016 y=0.619586944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374942779541016 × 217)
    floor (0.374942779541016 × 131072)
    floor (49144.5)     		tx = 49144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619586944580078 × 217)
    floor (0.619586944580078 × 131072)
    floor (81210.5)     		ty = 81210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49144 / 81210 ti = "17/49144/81210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49144/81210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49144 ÷ 217
    49144 ÷ 131072     		x = 0.37493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81210 ÷ 217
    81210 ÷ 131072     		y = 0.619583129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619583129882812 × 2 - 1) × π
    -0.239166259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75136296464476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78578166} λ = -0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75136296464476))-π/2
    2×atan(0.471723172382202)-π/2
    2×0.440771345898522-π/2
    0.881542691797043-1.57079632675     		φ = -0.68925363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68925363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.491324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49144 KachelY 81210 -0.78578166 -0.68925363 -45.021973 -39.491324
    Oben rechts KachelX + 1 49145 KachelY 81210 -0.78573372 -0.68925363 -45.019226 -39.491324
    Unten links KachelX 49144 KachelY + 1 81211 -0.78578166 -0.68929063 -45.021973 -39.493444
    Unten rechts KachelX + 1 49145 KachelY + 1 81211 -0.78573372 -0.68929063 -45.019226 -39.493444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68925363--0.68929063) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dl = 235.727000000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68925363--0.68929063) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dr = 235.727000000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78578166--0.78573372) × cos(-0.68925363) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771720892391396 × 6371000     		do = 235.703424632494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78578166--0.78573372) × cos(-0.68929063) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771697361292465 × 6371000     		du = 235.69623762919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68925363)-sin(-0.68929063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771720892391396-0.771697361292465)×R²
    abs(-0.78573372--0.78578166)×2.35310989309401e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35310989309401e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35310989309401e-05×40589641000000     		ar = 55560.8140994186m²