Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49143 / 81207
↖ ↑ ↗
← S 39.484965°
W 45.024719°		 ← 235.72 m → S 39.484965°
W 45.021973°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
S 39.487085°
W 45.024719°		 ← 235.72 m →
55 551 m²		 S 39.487085°
W 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374935150146484 y=0.619564056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374935150146484 × 217)
    floor (0.374935150146484 × 131072)
    floor (49143.5)     		tx = 49143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619564056396484 × 217)
    floor (0.619564056396484 × 131072)
    floor (81207.5)     		ty = 81207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49143 / 81207 ti = "17/49143/81207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49143/81207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49143 ÷ 217
    49143 ÷ 131072     		x = 0.374931335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81207 ÷ 217
    81207 ÷ 131072     		y = 0.619560241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374931335449219 × 2 - 1) × π
    -0.250137329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78582960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619560241699219 × 2 - 1) × π
    -0.239120483398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.7512191539459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78582960} λ = -0.78582960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7512191539459))-π/2
    2×atan(0.4717910160995)-π/2
    2×0.440826839296229-π/2
    0.881653678592458-1.57079632675     		φ = -0.68914265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78582960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.024719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68914265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.484965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49143 KachelY 81207 -0.78582960 -0.68914265 -45.024719 -39.484965
    Oben rechts KachelX + 1 49144 KachelY 81207 -0.78578166 -0.68914265 -45.021973 -39.484965
    Unten links KachelX 49143 KachelY + 1 81208 -0.78582960 -0.68917964 -45.024719 -39.487085
    Unten rechts KachelX + 1 49144 KachelY + 1 81208 -0.78578166 -0.68917964 -45.021973 -39.487085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68914265--0.68917964) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dl = 235.663290000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68914265--0.68917964) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dr = 235.663290000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78582960--0.78578166) × cos(-0.68914265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77179146663163 × 6371000     		do = 235.724979821496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78582960--0.78578166) × cos(-0.68917964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771767945060725 × 6371000     		du = 235.717795728297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68914265)-sin(-0.68917964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77179146663163-0.771767945060725)×R²
    abs(-0.78578166--0.78582960)×2.35215709049053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35215709049053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35215709049053e-05×40589641000000     		ar = 55550.8777726634m²