Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49143 / 81205
↖ ↑ ↗
← S 39.480725°
W 45.024719°		 ← 235.74 m → S 39.480725°
W 45.021973°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.482845°
W 45.024719°		 ← 235.73 m →
55 569 m²		 S 39.482845°
W 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374935150146484 y=0.619548797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374935150146484 × 217)
    floor (0.374935150146484 × 131072)
    floor (49143.5)     		tx = 49143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619548797607422 × 217)
    floor (0.619548797607422 × 131072)
    floor (81205.5)     		ty = 81205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49143 / 81205 ti = "17/49143/81205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49143/81205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49143 ÷ 217
    49143 ÷ 131072     		x = 0.374931335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81205 ÷ 217
    81205 ÷ 131072     		y = 0.619544982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374931335449219 × 2 - 1) × π
    -0.250137329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78582960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619544982910156 × 2 - 1) × π
    -0.239089965820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.75112328014666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78582960} λ = -0.78582960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75112328014666))-π/2
    2×atan(0.471836250665031)-π/2
    2×0.440863837714085-π/2
    0.88172767542817-1.57079632675     		φ = -0.68906865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78582960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.024719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68906865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.480725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49143 KachelY 81205 -0.78582960 -0.68906865 -45.024719 -39.480725
    Oben rechts KachelX + 1 49144 KachelY 81205 -0.78578166 -0.68906865 -45.021973 -39.480725
    Unten links KachelX 49143 KachelY + 1 81206 -0.78582960 -0.68910565 -45.024719 -39.482845
    Unten rechts KachelX + 1 49144 KachelY + 1 81206 -0.78578166 -0.68910565 -45.021973 -39.482845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68906865--0.68910565) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dl = 235.727000000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68906865--0.68910565) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dr = 235.727000000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78582960--0.78578166) × cos(-0.68906865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771838519321746 × 6371000     		do = 235.739350924194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78582960--0.78578166) × cos(-0.68910565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771814993504995 × 6371000     		du = 235.732165534204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68906865)-sin(-0.68910565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771838519321746-0.771814993504995)×R²
    abs(-0.78578166--0.78582960)×2.35258167504693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35258167504693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35258167504693e-05×40589641000000     		ar = 55569.2830864113m²