Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49142 / 81467
↖ ↑ ↗
← S 40.033924°
W 45.027466°		 ← 233.80 m → S 40.033924°
W 45.024719°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
S 40.036026°
W 45.027466°		 ← 233.80 m →
54 666 m²		 S 40.036026°
W 45.024719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374927520751953 y=0.621547698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374927520751953 × 217)
    floor (0.374927520751953 × 131072)
    floor (49142.5)     		tx = 49142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621547698974609 × 217)
    floor (0.621547698974609 × 131072)
    floor (81467.5)     		ty = 81467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49142 / 81467 ti = "17/49142/81467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49142/81467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49142 ÷ 217
    49142 ÷ 131072     		x = 0.374923706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81467 ÷ 217
    81467 ÷ 131072     		y = 0.621543884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374923706054688 × 2 - 1) × π
    -0.250152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78587753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621543884277344 × 2 - 1) × π
    -0.243087768554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.763682747847115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78587753} λ = -0.78587753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763682747847115))-π/2
    2×atan(0.46594729698686)-π/2
    2×0.436036273714997-π/2
    0.872072547429994-1.57079632675     		φ = -0.69872378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78587753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69872378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.033924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49142 KachelY 81467 -0.78587753 -0.69872378 -45.027466 -40.033924
    Oben rechts KachelX + 1 49143 KachelY 81467 -0.78582960 -0.69872378 -45.024719 -40.033924
    Unten links KachelX 49142 KachelY + 1 81468 -0.78587753 -0.69876048 -45.027466 -40.036026
    Unten rechts KachelX + 1 49143 KachelY + 1 81468 -0.78582960 -0.69876048 -45.024719 -40.036026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69872378--0.69876048) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69872378--0.69876048) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78587753--0.78582960) × cos(-0.69872378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765663727694626 × 6371000     		do = 233.804630186341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78587753--0.78582960) × cos(-0.69876048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765640120232245 × 6371000     		du = 233.797421363706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69872378)-sin(-0.69876048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765663727694626-0.765640120232245)×R²
    abs(-0.78582960--0.78587753)×2.3607462381392e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3607462381392e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3607462381392e-05×40589641000000     		ar = 54666.3505083181m²