Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49141 / 81442
↖ ↑ ↗
← S 39.981330°
W 45.030212°		 ← 234.03 m → S 39.981330°
W 45.027466°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 39.983434°
W 45.030212°		 ← 234.03 m →
54 765 m²		 S 39.983434°
W 45.027466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374919891357422 y=0.621356964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374919891357422 × 217)
    floor (0.374919891357422 × 131072)
    floor (49141.5)     		tx = 49141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621356964111328 × 217)
    floor (0.621356964111328 × 131072)
    floor (81442.5)     		ty = 81442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49141 / 81442 ti = "17/49141/81442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49141/81442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49141 ÷ 217
    49141 ÷ 131072     		x = 0.374916076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81442 ÷ 217
    81442 ÷ 131072     		y = 0.621353149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374916076660156 × 2 - 1) × π
    -0.250167846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.78592547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621353149414062 × 2 - 1) × π
    -0.242706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.762484325356613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78592547} λ = -0.78592547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762484325356613))-π/2
    2×atan(0.466506033441252)-π/2
    2×0.436495244848392-π/2
    0.872990489696784-1.57079632675     		φ = -0.69780584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78592547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.030212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69780584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.981330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49141 KachelY 81442 -0.78592547 -0.69780584 -45.030212 -39.981330
    Oben rechts KachelX + 1 49142 KachelY 81442 -0.78587753 -0.69780584 -45.027466 -39.981330
    Unten links KachelX 49141 KachelY + 1 81443 -0.78592547 -0.69784257 -45.030212 -39.983434
    Unten rechts KachelX + 1 49142 KachelY + 1 81443 -0.78587753 -0.69784257 -45.027466 -39.983434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69780584--0.69784257) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69780584--0.69784257) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78592547--0.78587753) × cos(-0.69780584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766253861727222 × 6371000     		do = 234.033652745741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78592547--0.78587753) × cos(-0.69784257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766230260791387 × 6371000     		du = 234.026444412449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69780584)-sin(-0.69784257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766253861727222-0.766230260791387)×R²
    abs(-0.78587753--0.78592547)×2.36009358348666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36009358348666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36009358348666e-05×40589641000000     		ar = 54764.6297989146m²