Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49140 / 81465
↖ ↑ ↗
← S 40.029718°
W 45.032959°		 ← 233.87 m → S 40.029718°
W 45.030212°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 40.031821°
W 45.032959°		 ← 233.86 m →
54 696 m²		 S 40.031821°
W 45.030212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374912261962891 y=0.621532440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374912261962891 × 217)
    floor (0.374912261962891 × 131072)
    floor (49140.5)     		tx = 49140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621532440185547 × 217)
    floor (0.621532440185547 × 131072)
    floor (81465.5)     		ty = 81465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49140 / 81465 ti = "17/49140/81465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49140/81465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49140 ÷ 217
    49140 ÷ 131072     		x = 0.374908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81465 ÷ 217
    81465 ÷ 131072     		y = 0.621528625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621528625488281 × 2 - 1) × π
    -0.243057250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.763586874047875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78597341} λ = -0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763586874047875))-π/2
    2×atan(0.46599197126598)-π/2
    2×0.436072978392017-π/2
    0.872145956784034-1.57079632675     		φ = -0.69865037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69865037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.029718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49140 KachelY 81465 -0.78597341 -0.69865037 -45.032959 -40.029718
    Oben rechts KachelX + 1 49141 KachelY 81465 -0.78592547 -0.69865037 -45.030212 -40.029718
    Unten links KachelX 49140 KachelY + 1 81466 -0.78597341 -0.69868708 -45.032959 -40.031821
    Unten rechts KachelX + 1 49141 KachelY + 1 81466 -0.78592547 -0.69868708 -45.030212 -40.031821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69865037--0.69868708) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69865037--0.69868708) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78597341--0.78592547) × cos(-0.69865037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765710945957412 × 6371000     		do = 233.867832294989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78597341--0.78592547) × cos(-0.69868708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765687334125743 × 6371000     		du = 233.860620633829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69865037)-sin(-0.69868708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765710945957412-0.765687334125743)×R²
    abs(-0.78592547--0.78597341)×2.36118316685463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36118316685463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36118316685463e-05×40589641000000     		ar = 54696.0273118476m²