Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49140 / 81445
↖ ↑ ↗
← S 39.987643°
W 45.032959°		 ← 234.01 m → S 39.987643°
W 45.030212°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 39.989747°
W 45.032959°		 ← 234 m →
54 760 m²		 S 39.989747°
W 45.030212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374912261962891 y=0.621379852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374912261962891 × 217)
    floor (0.374912261962891 × 131072)
    floor (49140.5)     		tx = 49140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621379852294922 × 217)
    floor (0.621379852294922 × 131072)
    floor (81445.5)     		ty = 81445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49140 / 81445 ti = "17/49140/81445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49140/81445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49140 ÷ 217
    49140 ÷ 131072     		x = 0.374908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81445 ÷ 217
    81445 ÷ 131072     		y = 0.621376037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621376037597656 × 2 - 1) × π
    -0.242752075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.762628136055473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78597341} λ = -0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762628136055473))-π/2
    2×atan(0.466438949706355)-π/2
    2×0.436440149642233-π/2
    0.872880299284466-1.57079632675     		φ = -0.69791603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69791603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.987643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49140 KachelY 81445 -0.78597341 -0.69791603 -45.032959 -39.987643
    Oben rechts KachelX + 1 49141 KachelY 81445 -0.78592547 -0.69791603 -45.030212 -39.987643
    Unten links KachelX 49140 KachelY + 1 81446 -0.78597341 -0.69795276 -45.032959 -39.989747
    Unten rechts KachelX + 1 49141 KachelY + 1 81446 -0.78592547 -0.69795276 -45.030212 -39.989747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69791603--0.69795276) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dl = 234.00682999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69791603--0.69795276) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dr = 234.00682999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78597341--0.78592547) × cos(-0.69791603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766183055818602 × 6371000     		do = 234.012026798704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78597341--0.78592547) × cos(-0.69795276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766159451781715 × 6371000     		du = 234.004817518271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69791603)-sin(-0.69795276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766183055818602-0.766159451781715)×R²
    abs(-0.78592547--0.78597341)×2.36040368867263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36040368867263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36040368867263e-05×40589641000000     		ar = 54759.5690686305m²