Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4914 / 5175
↖ ↑ ↗
← S 42.779276°
E 35.947265°		 ← 3 586.57 m → S 42.779276°
E 35.991211°		 →
↑
3 585.60 m
↓
↑
3 585.60 m
↓
S 42.811522°
E 35.947265°		 ← 3 584.70 m →
12 856 640 m²		 S 42.811522°
E 35.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59991455078125 y=0.63177490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59991455078125 × 213)
    floor (0.59991455078125 × 8192)
    floor (4914.5)     		tx = 4914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63177490234375 × 213)
    floor (0.63177490234375 × 8192)
    floor (5175.5)     		ty = 5175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4914 / 5175 ti = "13/4914/5175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4914/5175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4914 ÷ 213
    4914 ÷ 8192     		x = 0.599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5175 ÷ 213
    5175 ÷ 8192     		y = 0.6317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599853515625 × 2 - 1) × π
    0.19970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62739814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.827582635040649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62739814} λ = 0.62739814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827582635040649))-π/2
    2×atan(0.437104651674519)-π/2
    2×0.412078560079377-π/2
    0.824157120158753-1.57079632675     		φ = -0.74663921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62739814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.947265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74663921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.779276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4914 KachelY 5175 0.62739814 -0.74663921 35.947265 -42.779276
    Oben rechts KachelX + 1 4915 KachelY 5175 0.62816513 -0.74663921 35.991211 -42.779276
    Unten links KachelX 4914 KachelY + 1 5176 0.62739814 -0.74720201 35.947265 -42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 4915 KachelY + 1 5176 0.62816513 -0.74720201 35.991211 -42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74663921--0.74720201) × R
    0.000562799999999974 × 6371000     		dl = 3585.59879999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74663921--0.74720201) × R
    0.000562799999999974 × 6371000     		dr = 3585.59879999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62739814-0.62816513) × cos(-0.74663921) × R
    0.000766989999999912 × 0.733975577113781 × 6371000     		do = 3586.56673258995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62739814-0.62816513) × cos(-0.74720201) × R
    0.000766989999999912 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 3584.69835062478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74663921)-sin(-0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733975577113781-0.733593220717427)×R²
    abs(0.62816513-0.62739814)×0.000382356396353645×R²
    0.000766989999999912×0.000382356396353645×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382356396353645×40589641000000     		ar = 12856640.0777855m²