Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49138 / 51442
↖ ↑ ↗
← S 71.049097°
E 89.923095°		 ← 198.38 m → S 71.049097°
E 89.928589°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
S 71.050881°
E 89.923095°		 ← 198.36 m →
39 355 m²		 S 71.050881°
E 89.928589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749794006347656 y=0.784950256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749794006347656 × 216)
    floor (0.749794006347656 × 65536)
    floor (49138.5)     		tx = 49138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784950256347656 × 216)
    floor (0.784950256347656 × 65536)
    floor (51442.5)     		ty = 51442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49138 / 51442 ti = "16/49138/51442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49138/51442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49138 ÷ 216
    49138 ÷ 65536     		x = 0.749786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51442 ÷ 216
    51442 ÷ 65536     		y = 0.784942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749786376953125 × 2 - 1) × π
    0.49957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56945409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.56988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79034732700986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56945409} λ = 1.56945409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79034732700986))-π/2
    2×atan(0.166902189960087)-π/2
    2×0.165377826457738-π/2
    0.330755652915475-1.57079632675     		φ = -1.24004067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56945409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.923095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24004067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.049097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49138 KachelY 51442 1.56945409 -1.24004067 89.923095 -71.049097
    Oben rechts KachelX + 1 49139 KachelY 51442 1.56954997 -1.24004067 89.928589 -71.049097
    Unten links KachelX 49138 KachelY + 1 51443 1.56945409 -1.24007181 89.923095 -71.050881
    Unten rechts KachelX + 1 49139 KachelY + 1 51443 1.56954997 -1.24007181 89.928589 -71.050881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24004067--1.24007181) × R
    3.11400000001516e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24004067--1.24007181) × R
    3.11400000001516e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56945409-1.56954997) × cos(-1.24004067) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324757819134915 × 6371000     		do = 198.378794460005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56945409-1.56954997) × cos(-1.24007181) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324728366852399 × 6371000     		du = 198.360803489641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24004067)-sin(-1.24007181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324757819134915-0.324728366852399)×R²
    abs(1.56954997-1.56945409)×2.94522825153853e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94522825153853e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94522825153853e-05×40589641000000     		ar = 39355.1676291231m²