Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49137 / 81458
↖ ↑ ↗
← S 40.014994°
W 45.041199°		 ← 233.92 m → S 40.014994°
W 45.038452°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 40.017098°
W 45.041199°		 ← 233.91 m →
54 708 m²		 S 40.017098°
W 45.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374889373779297 y=0.621479034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374889373779297 × 217)
    floor (0.374889373779297 × 131072)
    floor (49137.5)     		tx = 49137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621479034423828 × 217)
    floor (0.621479034423828 × 131072)
    floor (81458.5)     		ty = 81458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49137 / 81458 ti = "17/49137/81458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49137/81458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49137 ÷ 217
    49137 ÷ 131072     		x = 0.374885559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81458 ÷ 217
    81458 ÷ 131072     		y = 0.621475219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374885559082031 × 2 - 1) × π
    -0.250228881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78611722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621475219726562 × 2 - 1) × π
    -0.242950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.763251315750534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78611722} λ = -0.78611722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763251315750534))-π/2
    2×atan(0.466148364976568)-π/2
    2×0.436201462585859-π/2
    0.872402925171718-1.57079632675     		φ = -0.69839340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78611722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.041199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69839340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.014994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49137 KachelY 81458 -0.78611722 -0.69839340 -45.041199 -40.014994
    Oben rechts KachelX + 1 49138 KachelY 81458 -0.78606928 -0.69839340 -45.038452 -40.014994
    Unten links KachelX 49137 KachelY + 1 81459 -0.78611722 -0.69843011 -45.041199 -40.017098
    Unten rechts KachelX + 1 49138 KachelY + 1 81459 -0.78606928 -0.69843011 -45.038452 -40.017098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69839340--0.69843011) × R
    3.67099999999398e-05 × 6371000     		dl = 233.879409999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69839340--0.69843011) × R
    3.67099999999398e-05 × 6371000     		dr = 233.879409999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78611722--0.78606928) × cos(-0.69839340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765876199884375 × 6371000     		do = 233.91830509792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78611722--0.78606928) × cos(-0.69843011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765852595276608 × 6371000     		du = 233.911095643125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69839340)-sin(-0.69843011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765876199884375-0.765852595276608)×R²
    abs(-0.78606928--0.78611722)×2.36046077666252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36046077666252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36046077666252e-05×40589641000000     		ar = 54707.8321189465m²