Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49136 / 81137
↖ ↑ ↗
← S 39.336422°
W 45.043945°		 ← 236.18 m → S 39.336422°
W 45.041199°		 →
↑
236.17 m
↓
↑
236.17 m
↓
S 39.338546°
W 45.043945°		 ← 236.17 m →
55 778 m²		 S 39.338546°
W 45.041199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374881744384766 y=0.619029998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374881744384766 × 217)
    floor (0.374881744384766 × 131072)
    floor (49136.5)     		tx = 49136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619029998779297 × 217)
    floor (0.619029998779297 × 131072)
    floor (81137.5)     		ty = 81137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49136 / 81137 ti = "17/49136/81137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49136/81137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49136 ÷ 217
    49136 ÷ 131072     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81137 ÷ 217
    81137 ÷ 131072     		y = 0.619026184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619026184082031 × 2 - 1) × π
    -0.238052368164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.747863570972496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747863570972496))-π/2
    2×atan(0.473376809142201)-π/2
    2×0.442123125473502-π/2
    0.884246250947004-1.57079632675     		φ = -0.68655008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68655008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.336422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49136 KachelY 81137 -0.78616515 -0.68655008 -45.043945 -39.336422
    Oben rechts KachelX + 1 49137 KachelY 81137 -0.78611722 -0.68655008 -45.041199 -39.336422
    Unten links KachelX 49136 KachelY + 1 81138 -0.78616515 -0.68658715 -45.043945 -39.338546
    Unten rechts KachelX + 1 49137 KachelY + 1 81138 -0.78611722 -0.68658715 -45.041199 -39.338546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68655008--0.68658715) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dl = 236.172970000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68655008--0.68658715) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dr = 236.172970000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.68655008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.77343742333625 × 6371000     		do = 236.178421668071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.68658715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773413925145235 × 6371000     		du = 236.171246212762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68655008)-sin(-0.68658715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77343742333625-0.773413925145235)×R²
    abs(-0.78611722--0.78616515)×2.34981910142151e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34981910142151e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34981910142151e-05×40589641000000     		ar = 55778.1119774754m²