Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49136 / 80216
↖ ↑ ↗
← S 37.352693°
W 45.043945°		 ← 242.74 m → S 37.352693°
W 45.041199°		 →
↑
242.80 m
↓
↑
242.80 m
↓
S 37.354876°
W 45.043945°		 ← 242.73 m →
58 935 m²		 S 37.354876°
W 45.041199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374881744384766 y=0.612003326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374881744384766 × 217)
    floor (0.374881744384766 × 131072)
    floor (49136.5)     		tx = 49136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612003326416016 × 217)
    floor (0.612003326416016 × 131072)
    floor (80216.5)     		ty = 80216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49136 / 80216 ti = "17/49136/80216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49136/80216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49136 ÷ 217
    49136 ÷ 131072     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80216 ÷ 217
    80216 ÷ 131072     		y = 0.61199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.703713686422424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703713686422424))-π/2
    2×atan(0.494744561776003)-π/2
    2×0.459434426450402-π/2
    0.918868852900804-1.57079632675     		φ = -0.65192747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65192747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.352693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49136 KachelY 80216 -0.78616515 -0.65192747 -45.043945 -37.352693
    Oben rechts KachelX + 1 49137 KachelY 80216 -0.78611722 -0.65192747 -45.041199 -37.352693
    Unten links KachelX 49136 KachelY + 1 80217 -0.78616515 -0.65196558 -45.043945 -37.354876
    Unten rechts KachelX + 1 49137 KachelY + 1 80217 -0.78611722 -0.65196558 -45.041199 -37.354876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65192747--0.65196558) × R
    3.81100000000911e-05 × 6371000     		dl = 242.798810000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65192747--0.65196558) × R
    3.81100000000911e-05 × 6371000     		dr = 242.798810000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.65192747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.794915841848701 × 6371000     		do = 242.737115146227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78611722) × cos(-0.65196558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.794892719183368 × 6371000     		du = 242.730054362202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65192747)-sin(-0.65196558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794915841848701-0.794892719183368)×R²
    abs(-0.78611722--0.78616515)×2.31226653326644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31226653326644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31226653326644e-05×40589641000000     		ar = 58935.4255325271m²