Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49134 / 81375
↖ ↑ ↗
← S 39.840177°
W 45.049439°		 ← 234.52 m → S 39.840177°
W 45.046692°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.842286°
W 45.049439°		 ← 234.51 m →
54 982 m²		 S 39.842286°
W 45.046692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374866485595703 y=0.620845794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374866485595703 × 217)
    floor (0.374866485595703 × 131072)
    floor (49134.5)     		tx = 49134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620845794677734 × 217)
    floor (0.620845794677734 × 131072)
    floor (81375.5)     		ty = 81375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49134 / 81375 ti = "17/49134/81375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49134/81375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49134 ÷ 217
    49134 ÷ 131072     		x = 0.374862670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81375 ÷ 217
    81375 ÷ 131072     		y = 0.620841979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374862670898438 × 2 - 1) × π
    -0.250274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78626103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620841979980469 × 2 - 1) × π
    -0.241683959960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.759272553082069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78626103} λ = -0.78626103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759272553082069))-π/2
    2×atan(0.468006753280498)-π/2
    2×0.437727030633616-π/2
    0.875454061267233-1.57079632675     		φ = -0.69534227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78626103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.049439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69534227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.840177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49134 KachelY 81375 -0.78626103 -0.69534227 -45.049439 -39.840177
    Oben rechts KachelX + 1 49135 KachelY 81375 -0.78621309 -0.69534227 -45.046692 -39.840177
    Unten links KachelX 49134 KachelY + 1 81376 -0.78626103 -0.69537907 -45.049439 -39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 49135 KachelY + 1 81376 -0.78621309 -0.69537907 -45.046692 -39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69534227--0.69537907) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69534227--0.69537907) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78626103--0.78621309) × cos(-0.69534227) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767834472083693 × 6371000     		do = 234.516411834061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78626103--0.78621309) × cos(-0.69537907) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 234.509211001744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69534227)-sin(-0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767834472083693-0.76781089570694)×R²
    abs(-0.78621309--0.78626103)×2.35763767529873e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35763767529873e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35763767529873e-05×40589641000000     		ar = 54982.1852789543m²