Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49133 / 80219
↖ ↑ ↗
← S 37.359243°
W 45.052185°		 ← 242.72 m → S 37.359243°
W 45.049439°		 →
↑
242.74 m
↓
↑
242.74 m
↓
S 37.361426°
W 45.052185°		 ← 242.71 m →
58 915 m²		 S 37.361426°
W 45.049439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374858856201172 y=0.612026214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374858856201172 × 217)
    floor (0.374858856201172 × 131072)
    floor (49133.5)     		tx = 49133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612026214599609 × 217)
    floor (0.612026214599609 × 131072)
    floor (80219.5)     		ty = 80219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49133 / 80219 ti = "17/49133/80219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49133/80219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49133 ÷ 217
    49133 ÷ 131072     		x = 0.374855041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80219 ÷ 217
    80219 ÷ 131072     		y = 0.612022399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374855041503906 × 2 - 1) × π
    -0.250289916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78630896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612022399902344 × 2 - 1) × π
    -0.224044799804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.703857497121285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78630896} λ = -0.78630896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703857497121285))-π/2
    2×atan(0.494673417330605)-π/2
    2×0.459377270242876-π/2
    0.918754540485752-1.57079632675     		φ = -0.65204179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78630896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.052185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65204179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.359243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49133 KachelY 80219 -0.78630896 -0.65204179 -45.052185 -37.359243
    Oben rechts KachelX + 1 49134 KachelY 80219 -0.78626103 -0.65204179 -45.049439 -37.359243
    Unten links KachelX 49133 KachelY + 1 80220 -0.78630896 -0.65207989 -45.052185 -37.361426
    Unten rechts KachelX + 1 49134 KachelY + 1 80220 -0.78626103 -0.65207989 -45.049439 -37.361426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65204179--0.65207989) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dl = 242.73510000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65204179--0.65207989) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dr = 242.73510000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78630896--0.78626103) × cos(-0.65204179) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794846476457402 × 6371000     		do = 242.715933588966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78630896--0.78626103) × cos(-0.65207989) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794823356397442 × 6371000     		du = 242.708873600523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65204179)-sin(-0.65207989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794846476457402-0.794823356397442)×R²
    abs(-0.78626103--0.78630896)×2.31200599603021e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31200599603021e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31200599603021e-05×40589641000000     		ar = 58914.8195648514m²