Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49130 / 81386
↖ ↑ ↗
← S 39.863371°
W 45.060425°		 ← 234.44 m → S 39.863371°
W 45.057678°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.865480°
W 45.060425°		 ← 234.43 m →
54 964 m²		 S 39.865480°
W 45.057678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374835968017578 y=0.620929718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374835968017578 × 217)
    floor (0.374835968017578 × 131072)
    floor (49130.5)     		tx = 49130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620929718017578 × 217)
    floor (0.620929718017578 × 131072)
    floor (81386.5)     		ty = 81386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49130 / 81386 ti = "17/49130/81386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49130/81386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49130 ÷ 217
    49130 ÷ 131072     		x = 0.374832153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81386 ÷ 217
    81386 ÷ 131072     		y = 0.620925903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374832153320312 × 2 - 1) × π
    -0.250335693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78645278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620925903320312 × 2 - 1) × π
    -0.241851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75979985897789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78645278} λ = -0.78645278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75979985897789))-π/2
    2×atan(0.467760035613766)-π/2
    2×0.437524623006674-π/2
    0.875049246013349-1.57079632675     		φ = -0.69574708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78645278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.060425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69574708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.863371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49130 KachelY 81386 -0.78645278 -0.69574708 -45.060425 -39.863371
    Oben rechts KachelX + 1 49131 KachelY 81386 -0.78640484 -0.69574708 -45.057678 -39.863371
    Unten links KachelX 49130 KachelY + 1 81387 -0.78645278 -0.69578388 -45.060425 -39.865480
    Unten rechts KachelX + 1 49131 KachelY + 1 81387 -0.78640484 -0.69578388 -45.057678 -39.865480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69574708--0.69578388) × R
    3.6800000000059e-05 × 6371000     		dl = 234.452800000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69574708--0.69578388) × R
    3.6800000000059e-05 × 6371000     		dr = 234.452800000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78645278--0.78640484) × cos(-0.69574708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767575068346076 × 6371000     		do = 234.437183254997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78645278--0.78640484) × cos(-0.69578388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767551480532995 × 6371000     		du = 234.429978929732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69574708)-sin(-0.69578388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767575068346076-0.767551480532995)×R²
    abs(-0.78640484--0.78645278)×2.35878130816491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35878130816491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35878130816491e-05×40589641000000     		ar = 54963.6095074533m²