Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49129 / 81385
↖ ↑ ↗
← S 39.861263°
W 45.063171°		 ← 234.40 m → S 39.861263°
W 45.060425°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 39.863371°
W 45.063171°		 ← 234.39 m →
54 939 m²		 S 39.863371°
W 45.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374828338623047 y=0.620922088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374828338623047 × 217)
    floor (0.374828338623047 × 131072)
    floor (49129.5)     		tx = 49129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620922088623047 × 217)
    floor (0.620922088623047 × 131072)
    floor (81385.5)     		ty = 81385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49129 / 81385 ti = "17/49129/81385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49129/81385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49129 ÷ 217
    49129 ÷ 131072     		x = 0.374824523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81385 ÷ 217
    81385 ÷ 131072     		y = 0.620918273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374824523925781 × 2 - 1) × π
    -0.250350952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78650071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620918273925781 × 2 - 1) × π
    -0.241836547851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.75975192207827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78650071} λ = -0.78650071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75975192207827))-π/2
    2×atan(0.467782459117092)-π/2
    2×0.437543020873801-π/2
    0.875086041747601-1.57079632675     		φ = -0.69571029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78650071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.063171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69571029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.861263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49129 KachelY 81385 -0.78650071 -0.69571029 -45.063171 -39.861263
    Oben rechts KachelX + 1 49130 KachelY 81385 -0.78645278 -0.69571029 -45.060425 -39.861263
    Unten links KachelX 49129 KachelY + 1 81386 -0.78650071 -0.69574708 -45.063171 -39.863371
    Unten rechts KachelX + 1 49130 KachelY + 1 81386 -0.78645278 -0.69574708 -45.060425 -39.863371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69571029--0.69574708) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69571029--0.69574708) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78650071--0.78645278) × cos(-0.69571029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767598648710369 × 6371000     		do = 234.395481595599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78650071--0.78645278) × cos(-0.69574708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767575068346076 × 6371000     		du = 234.38828104769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69571029)-sin(-0.69574708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767598648710369-0.767575068346076)×R²
    abs(-0.78645278--0.78650071)×2.35803642925081e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35803642925081e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35803642925081e-05×40589641000000     		ar = 54938.8997725661m²