Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49115 / 80149
↖ ↑ ↗
← S 37.206269°
W 45.101624°		 ← 243.26 m → S 37.206269°
W 45.098877°		 →
↑
243.24 m
↓
↑
243.24 m
↓
S 37.208457°
W 45.101624°		 ← 243.25 m →
59 171 m²		 S 37.208457°
W 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374721527099609 y=0.611492156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374721527099609 × 217)
    floor (0.374721527099609 × 131072)
    floor (49115.5)     		tx = 49115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611492156982422 × 217)
    floor (0.611492156982422 × 131072)
    floor (80149.5)     		ty = 80149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49115 / 80149 ti = "17/49115/80149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49115/80149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49115 ÷ 217
    49115 ÷ 131072     		x = 0.374717712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80149 ÷ 217
    80149 ÷ 131072     		y = 0.611488342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374717712402344 × 2 - 1) × π
    -0.250564575195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78717183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611488342285156 × 2 - 1) × π
    -0.222976684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.700501914147881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78717183} λ = -0.78717183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.700501914147881))-π/2
    2×atan(0.496336123140685)-π/2
    2×0.460712213961631-π/2
    0.921424427923263-1.57079632675     		φ = -0.64937190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78717183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64937190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.206269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49115 KachelY 80149 -0.78717183 -0.64937190 -45.101624 -37.206269
    Oben rechts KachelX + 1 49116 KachelY 80149 -0.78712389 -0.64937190 -45.098877 -37.206269
    Unten links KachelX 49115 KachelY + 1 80150 -0.78717183 -0.64941008 -45.101624 -37.208457
    Unten rechts KachelX + 1 49116 KachelY + 1 80150 -0.78712389 -0.64941008 -45.098877 -37.208457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64937190--0.64941008) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dl = 243.244779999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64937190--0.64941008) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dr = 243.244779999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78717183--0.78712389) × cos(-0.64937190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796463759074156 × 6371000     		do = 243.260532998246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78717183--0.78712389) × cos(-0.64941008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796440671572012 × 6371000     		du = 243.253481480819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64937190)-sin(-0.64941008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796463759074156-0.796440671572012)×R²
    abs(-0.78712389--0.78717183)×2.30875021438592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30875021438592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30875021438592e-05×40589641000000     		ar = 59170.9972167278m²