Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49112 / 81832
↖ ↑ ↗
← S 40.797177°
W 45.109863°		 ← 231.22 m → S 40.797177°
W 45.107117°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 40.799257°
W 45.109863°		 ← 231.21 m →
53 457 m²		 S 40.799257°
W 45.107117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374698638916016 y=0.624332427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374698638916016 × 217)
    floor (0.374698638916016 × 131072)
    floor (49112.5)     		tx = 49112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624332427978516 × 217)
    floor (0.624332427978516 × 131072)
    floor (81832.5)     		ty = 81832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49112 / 81832 ti = "17/49112/81832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49112/81832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49112 ÷ 217
    49112 ÷ 131072     		x = 0.37469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81832 ÷ 217
    81832 ÷ 131072     		y = 0.62432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.781179716208435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78731564} λ = -0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781179716208435))-π/2
    2×atan(0.457865541167016)-π/2
    2×0.429375627698252-π/2
    0.858751255396505-1.57079632675     		φ = -0.71204507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71204507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.797177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49112 KachelY 81832 -0.78731564 -0.71204507 -45.109863 -40.797177
    Oben rechts KachelX + 1 49113 KachelY 81832 -0.78726770 -0.71204507 -45.107117 -40.797177
    Unten links KachelX 49112 KachelY + 1 81833 -0.78731564 -0.71208136 -45.109863 -40.799257
    Unten rechts KachelX + 1 49113 KachelY + 1 81833 -0.78726770 -0.71208136 -45.107117 -40.799257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71204507--0.71208136) × R
    3.62900000000499e-05 × 6371000     		dl = 231.203590000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71204507--0.71208136) × R
    3.62900000000499e-05 × 6371000     		dr = 231.203590000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78731564--0.78726770) × cos(-0.71204507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757027245377436 × 6371000     		do = 231.215606619413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78731564--0.78726770) × cos(-0.71208136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757003533598633 × 6371000     		du = 231.208364431826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71204507)-sin(-0.71208136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757027245377436-0.757003533598633)×R²
    abs(-0.78726770--0.78731564)×2.37117788027819e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37117788027819e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37117788027819e-05×40589641000000     		ar = 53457.0411106102m²