Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49111 / 80139
↖ ↑ ↗
← S 37.184390°
W 45.112610°		 ← 243.33 m → S 37.184390°
W 45.109863°		 →
↑
243.31 m
↓
↑
243.31 m
↓
S 37.186578°
W 45.112610°		 ← 243.32 m →
59 204 m²		 S 37.186578°
W 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374691009521484 y=0.611415863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374691009521484 × 217)
    floor (0.374691009521484 × 131072)
    floor (49111.5)     		tx = 49111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611415863037109 × 217)
    floor (0.611415863037109 × 131072)
    floor (80139.5)     		ty = 80139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49111 / 80139 ti = "17/49111/80139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49111/80139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49111 ÷ 217
    49111 ÷ 131072     		x = 0.374687194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80139 ÷ 217
    80139 ÷ 131072     		y = 0.611412048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374687194824219 × 2 - 1) × π
    -0.250625610351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78736358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611412048339844 × 2 - 1) × π
    -0.222824096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.70002254515168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78736358} λ = -0.78736358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70002254515168))-π/2
    2×atan(0.496574108326616)-π/2
    2×0.460903141644066-π/2
    0.921806283288132-1.57079632675     		φ = -0.64899004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78736358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.112610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64899004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.184390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49111 KachelY 80139 -0.78736358 -0.64899004 -45.112610 -37.184390
    Oben rechts KachelX + 1 49112 KachelY 80139 -0.78731564 -0.64899004 -45.109863 -37.184390
    Unten links KachelX 49111 KachelY + 1 80140 -0.78736358 -0.64902823 -45.112610 -37.186578
    Unten rechts KachelX + 1 49112 KachelY + 1 80140 -0.78731564 -0.64902823 -45.109863 -37.186578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64899004--0.64902823) × R
    3.8189999999938e-05 × 6371000     		dl = 243.308489999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64899004--0.64902823) × R
    3.8189999999938e-05 × 6371000     		dr = 243.308489999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78736358--0.78731564) × cos(-0.64899004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796694606497139 × 6371000     		do = 243.331039743238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78736358--0.78731564) × cos(-0.64902823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79667152456436 × 6371000     		du = 243.323989926838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64899004)-sin(-0.64902823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796694606497139-0.79667152456436)×R²
    abs(-0.78731564--0.78736358)×2.3081932778668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3081932778668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3081932778668e-05×40589641000000     		ar = 59203.6502170974m²