Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4911 / 3726
↖ ↑ ↗
← N 69.549877°
W 72.092285°		 ← 853.64 m → N 69.549877°
W 72.070313°		 →
↑
853.78 m
↓
↑
853.78 m
↓
N 69.542199°
W 72.092285°		 ← 853.95 m →
728 949 m²		 N 69.542199°
W 72.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.299774169921875 y=0.227447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.299774169921875 × 214)
    floor (0.299774169921875 × 16384)
    floor (4911.5)     		tx = 4911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227447509765625 × 214)
    floor (0.227447509765625 × 16384)
    floor (3726.5)     		ty = 3726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4911 / 3726 ti = "14/4911/3726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4911/3726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4911 ÷ 214
    4911 ÷ 16384     		x = 0.29974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3726 ÷ 214
    3726 ÷ 16384     		y = 0.2274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.29974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.25824774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2274169921875 × 2 - 1) × π
    0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25824774} λ = -1.25824774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71268954962537))-π/2
    2×atan(5.54385190919609)-π/2
    2×1.3923353398645-π/2
    2.784670679729-1.57079632675     		φ = 1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25824774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.092285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4911 KachelY 3726 -1.25824774 1.21387435 -72.092285 69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 4912 KachelY 3726 -1.25786425 1.21387435 -72.070313 69.549877
    Unten links KachelX 4911 KachelY + 1 3727 -1.25824774 1.21374034 -72.092285 69.542199
    Unten rechts KachelX + 1 4912 KachelY + 1 3727 -1.25786425 1.21374034 -72.070313 69.542199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21387435-1.21374034) × R
    0.000134010000000018 × 6371000     		dl = 853.777710000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21387435-1.21374034) × R
    0.000134010000000018 × 6371000     		dr = 853.777710000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25824774--1.25786425) × cos(1.21387435) × R
    0.000383490000000153 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 853.639352336014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25824774--1.25786425) × cos(1.21374034) × R
    0.000383490000000153 × 0.349517418030748 × 6371000     		du = 853.946125095675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21387435)-sin(1.21374034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349517418030748)×R²
    abs(-1.25786425--1.25824774)×0.000125561109451944×R²
    0.000383490000000153×0.000125561109451944×6371000²
    0.000383490000000153×0.000125561109451944×40589641000000     		ar = 728949.210366528m²