Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49109 / 80137
↖ ↑ ↗
← S 37.180014°
W 45.118103°		 ← 243.35 m → S 37.180014°
W 45.115356°		 →
↑
243.31 m
↓
↑
243.31 m
↓
S 37.182202°
W 45.118103°		 ← 243.34 m →
59 207 m²		 S 37.182202°
W 45.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374675750732422 y=0.611400604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374675750732422 × 217)
    floor (0.374675750732422 × 131072)
    floor (49109.5)     		tx = 49109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611400604248047 × 217)
    floor (0.611400604248047 × 131072)
    floor (80137.5)     		ty = 80137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49109 / 80137 ti = "17/49109/80137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49109/80137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49109 ÷ 217
    49109 ÷ 131072     		x = 0.374671936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80137 ÷ 217
    80137 ÷ 131072     		y = 0.611396789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374671936035156 × 2 - 1) × π
    -0.250656127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.78745945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611396789550781 × 2 - 1) × π
    -0.222793579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.69992667135244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78745945} λ = -0.78745945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.69992667135244))-π/2
    2×atan(0.496621719055259)-π/2
    2×0.460941333819808-π/2
    0.921882667639615-1.57079632675     		φ = -0.64891366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78745945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.118103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64891366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.180014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49109 KachelY 80137 -0.78745945 -0.64891366 -45.118103 -37.180014
    Oben rechts KachelX + 1 49110 KachelY 80137 -0.78741151 -0.64891366 -45.115356 -37.180014
    Unten links KachelX 49109 KachelY + 1 80138 -0.78745945 -0.64895185 -45.118103 -37.182202
    Unten rechts KachelX + 1 49110 KachelY + 1 80138 -0.78741151 -0.64895185 -45.115356 -37.182202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64891366--0.64895185) × R
    3.8190000000049e-05 × 6371000     		dl = 243.308490000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64891366--0.64895185) × R
    3.8190000000049e-05 × 6371000     		dr = 243.308490000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78745945--0.78741151) × cos(-0.64891366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796740766876783 × 6371000     		do = 243.345138311349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78745945--0.78741151) × cos(-0.64895185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.796717687267958 × 6371000     		du = 243.338089204745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64891366)-sin(-0.64895185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796740766876783-0.796717687267958)×R²
    abs(-0.78741151--0.78745945)×2.30796088250829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30796088250829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30796088250829e-05×40589641000000     		ar = 59207.080604959m²