Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49107 / 51407
↖ ↑ ↗
← S 70.986560°
E 89.752808°		 ← 198.99 m → S 70.986560°
E 89.758301°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 70.988349°
E 89.752808°		 ← 198.97 m →
39 590 m²		 S 70.988349°
E 89.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749320983886719 y=0.784416198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749320983886719 × 216)
    floor (0.749320983886719 × 65536)
    floor (49107.5)     		tx = 49107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784416198730469 × 216)
    floor (0.784416198730469 × 65536)
    floor (51407.5)     		ty = 51407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49107 / 51407 ti = "16/49107/51407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49107/51407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49107 ÷ 216
    49107 ÷ 65536     		x = 0.749313354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51407 ÷ 216
    51407 ÷ 65536     		y = 0.784408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749313354492188 × 2 - 1) × π
    0.498626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56648201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784408569335938 × 2 - 1) × π
    -0.568817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78699174403645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56648201} λ = 1.56648201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78699174403645))-π/2
    2×atan(0.167463184812932)-π/2
    2×0.165923567799512-π/2
    0.331847135599024-1.57079632675     		φ = -1.23894919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56648201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.752808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23894919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.986560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49107 KachelY 51407 1.56648201 -1.23894919 89.752808 -70.986560
    Oben rechts KachelX + 1 49108 KachelY 51407 1.56657788 -1.23894919 89.758301 -70.986560
    Unten links KachelX 49107 KachelY + 1 51408 1.56648201 -1.23898042 89.752808 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 49108 KachelY + 1 51408 1.56657788 -1.23898042 89.758301 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23894919--1.23898042) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23894919--1.23898042) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56648201-1.56657788) × cos(-1.23894919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325789944220057 × 6371000     		do = 198.988513518589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56648201-1.56657788) × cos(-1.23898042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 198.970479204604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23894919)-sin(-1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325789944220057-0.325760417901964)×R²
    abs(1.56657788-1.56648201)×2.95263180927763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95263180927763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95263180927763e-05×40589641000000     		ar = 39590.2201399026m²