Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49106 / 81218
↖ ↑ ↗
← S 39.508279°
W 45.126343°		 ← 235.65 m → S 39.508279°
W 45.123596°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 39.510398°
W 45.126343°		 ← 235.64 m →
55 517 m²		 S 39.510398°
W 45.123596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374652862548828 y=0.619647979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374652862548828 × 217)
    floor (0.374652862548828 × 131072)
    floor (49106.5)     		tx = 49106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619647979736328 × 217)
    floor (0.619647979736328 × 131072)
    floor (81218.5)     		ty = 81218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49106 / 81218 ti = "17/49106/81218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49106/81218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49106 ÷ 217
    49106 ÷ 131072     		x = 0.374649047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81218 ÷ 217
    81218 ÷ 131072     		y = 0.619644165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374649047851562 × 2 - 1) × π
    -0.250701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78760326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.239288330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.751746459841721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78760326} λ = -0.78760326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751746459841721))-π/2
    2×atan(0.47154230349469)-π/2
    2×0.44062338831676-π/2
    0.88124677663352-1.57079632675     		φ = -0.68954955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78760326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.126343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68954955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.508279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49106 KachelY 81218 -0.78760326 -0.68954955 -45.126343 -39.508279
    Oben rechts KachelX + 1 49107 KachelY 81218 -0.78755532 -0.68954955 -45.123596 -39.508279
    Unten links KachelX 49106 KachelY + 1 81219 -0.78760326 -0.68958653 -45.126343 -39.510398
    Unten rechts KachelX + 1 49107 KachelY + 1 81219 -0.78755532 -0.68958653 -45.123596 -39.510398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68954955--0.68958653) × R
    3.69800000000753e-05 × 6371000     		dl = 235.59958000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68954955--0.68958653) × R
    3.69800000000753e-05 × 6371000     		dr = 235.59958000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78760326--0.78755532) × cos(-0.68954955) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771532664916229 × 6371000     		do = 235.645935116602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78760326--0.78755532) × cos(-0.68958653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771509138093219 × 6371000     		du = 235.638749419275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68954955)-sin(-0.68958653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771532664916229-0.771509138093219)×R²
    abs(-0.78755532--0.78760326)×2.35268230096564e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35268230096564e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35268230096564e-05×40589641000000     		ar = 55517.2368750051m²