Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49105 / 81841
↖ ↑ ↗
← S 40.815888°
W 45.129089°		 ← 231.15 m → S 40.815888°
W 45.126343°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
S 40.817967°
W 45.129089°		 ← 231.14 m →
53 427 m²		 S 40.817967°
W 45.126343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374645233154297 y=0.624401092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374645233154297 × 217)
    floor (0.374645233154297 × 131072)
    floor (49105.5)     		tx = 49105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624401092529297 × 217)
    floor (0.624401092529297 × 131072)
    floor (81841.5)     		ty = 81841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49105 / 81841 ti = "17/49105/81841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49105/81841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49105 ÷ 217
    49105 ÷ 131072     		x = 0.374641418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81841 ÷ 217
    81841 ÷ 131072     		y = 0.624397277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374641418457031 × 2 - 1) × π
    -0.250717163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78765120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624397277832031 × 2 - 1) × π
    -0.248794555664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.781611148305016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78765120} λ = -0.78765120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781611148305016))-π/2
    2×atan(0.457668045882604)-π/2
    2×0.429212347790143-π/2
    0.858424695580285-1.57079632675     		φ = -0.71237163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78765120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71237163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.815888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49105 KachelY 81841 -0.78765120 -0.71237163 -45.129089 -40.815888
    Oben rechts KachelX + 1 49106 KachelY 81841 -0.78760326 -0.71237163 -45.126343 -40.815888
    Unten links KachelX 49105 KachelY + 1 81842 -0.78765120 -0.71240791 -45.129089 -40.817967
    Unten rechts KachelX + 1 49106 KachelY + 1 81842 -0.78760326 -0.71240791 -45.126343 -40.817967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71237163--0.71240791) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71237163--0.71240791) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78765120--0.78760326) × cos(-0.71237163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756813836162287 × 6371000     		do = 231.150425951954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78765120--0.78760326) × cos(-0.71240791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756790121950043 × 6371000     		du = 231.143183021131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71237163)-sin(-0.71240791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756813836162287-0.756790121950043)×R²
    abs(-0.78760326--0.78765120)×2.37142122438971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37142122438971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37142122438971e-05×40589641000000     		ar = 53427.2446572853m²