Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49103 / 81845
↖ ↑ ↗
← S 40.824202°
W 45.134582°		 ← 231.12 m → S 40.824202°
W 45.131836°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 40.826280°
W 45.134582°		 ← 231.11 m →
53 406 m²		 S 40.826280°
W 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374629974365234 y=0.624431610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374629974365234 × 217)
    floor (0.374629974365234 × 131072)
    floor (49103.5)     		tx = 49103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624431610107422 × 217)
    floor (0.624431610107422 × 131072)
    floor (81845.5)     		ty = 81845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49103 / 81845 ti = "17/49103/81845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49103/81845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49103 ÷ 217
    49103 ÷ 131072     		x = 0.374626159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81845 ÷ 217
    81845 ÷ 131072     		y = 0.624427795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374626159667969 × 2 - 1) × π
    -0.250747680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.78774707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624427795410156 × 2 - 1) × π
    -0.248855590820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.781802895903496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78774707} λ = -0.78774707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781802895903496))-π/2
    2×atan(0.45758029754694)-π/2
    2×0.429139793719454-π/2
    0.858279587438908-1.57079632675     		φ = -0.71251674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78774707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.134582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71251674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.824202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49103 KachelY 81845 -0.78774707 -0.71251674 -45.134582 -40.824202
    Oben rechts KachelX + 1 49104 KachelY 81845 -0.78769913 -0.71251674 -45.131836 -40.824202
    Unten links KachelX 49103 KachelY + 1 81846 -0.78774707 -0.71255301 -45.134582 -40.826280
    Unten rechts KachelX + 1 49104 KachelY + 1 81846 -0.78769913 -0.71255301 -45.131836 -40.826280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71251674--0.71255301) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dl = 231.076170000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71251674--0.71255301) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dr = 231.076170000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78774707--0.78769913) × cos(-0.71251674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756718979874142 × 6371000     		do = 231.121454399953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78774707--0.78769913) × cos(-0.71255301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756695268215573 × 6371000     		du = 231.114212249088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71251674)-sin(-0.71255301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756718979874142-0.756695268215573)×R²
    abs(-0.78769913--0.78774707)×2.3711658569403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3711658569403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3711658569403e-05×40589641000000     		ar = 53405.8237493865m²