Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49103 / 81220
↖ ↑ ↗
← S 39.512517°
W 45.134582°		 ← 235.63 m → S 39.512517°
W 45.131836°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 39.514636°
W 45.134582°		 ← 235.62 m →
55 514 m²		 S 39.514636°
W 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374629974365234 y=0.619663238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374629974365234 × 217)
    floor (0.374629974365234 × 131072)
    floor (49103.5)     		tx = 49103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619663238525391 × 217)
    floor (0.619663238525391 × 131072)
    floor (81220.5)     		ty = 81220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49103 / 81220 ti = "17/49103/81220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49103/81220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49103 ÷ 217
    49103 ÷ 131072     		x = 0.374626159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81220 ÷ 217
    81220 ÷ 131072     		y = 0.619659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374626159667969 × 2 - 1) × π
    -0.250747680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.78774707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.751842333640961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78774707} λ = -0.78774707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751842333640961))-π/2
    2×atan(0.47149709710964)-π/2
    2×0.440586404560791-π/2
    0.881172809121582-1.57079632675     		φ = -0.68962352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78774707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.134582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68962352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.512517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49103 KachelY 81220 -0.78774707 -0.68962352 -45.134582 -39.512517
    Oben rechts KachelX + 1 49104 KachelY 81220 -0.78769913 -0.68962352 -45.131836 -39.512517
    Unten links KachelX 49103 KachelY + 1 81221 -0.78774707 -0.68966050 -45.134582 -39.514636
    Unten rechts KachelX + 1 49104 KachelY + 1 81221 -0.78769913 -0.68966050 -45.131836 -39.514636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68962352--0.68966050) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dl = 235.599579999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68962352--0.68966050) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dr = 235.599579999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78774707--0.78769913) × cos(-0.68962352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771485603852687 × 6371000     		do = 235.631561455899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78774707--0.78769913) × cos(-0.68966050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771462074919316 × 6371000     		du = 235.624375114013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68962352)-sin(-0.68966050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771485603852687-0.771462074919316)×R²
    abs(-0.78769913--0.78774707)×2.35289333717636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35289333717636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35289333717636e-05×40589641000000     		ar = 55513.8503705711m²